【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C是⊙O上一點,OD⊥BC于點D,過點C作⊙O的切線,交OD的延長線于點E,連接BE.
(1)求證:BE與⊙O相切;
(2)設(shè)OE交⊙O于點F,若DF=1,BC=2,求陰影部分的面積.
【答案】(1)證明見解析;(2)S陰影=4﹣π.
【解析】試題分析:(1)連接OC,如圖,利用切線的性質(zhì)得∠OCE=90°,再根據(jù)垂徑定理得到CD=BD,則OD垂中平分BC,所以EC=EB,接著證明△OCE≌△OBE得到∠OBE=∠OCE=90°,然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論;
(2)設(shè)⊙O的半徑為r,則OD=r﹣1,利用勾股定理得到(r﹣1)2+()2=r2,解得r=2,再利用三角函數(shù)得到∠BOD=60°,則∠BOC=2∠BOD=120°,接著計算出BE=OB=2,
然后根據(jù)三角形面積公式和扇形的面積公式,利用陰影部分的面積=2S△OBE﹣S扇形BOC進(jìn)行計算即可.
試題解析:(1)證明:連接OC,如圖,
∵CE為切線,
∴OC⊥CE,
∴∠OCE=90°,
∵OD⊥BC,
∴CD=BD,
即OD垂中平分BC,
∴EC=EB,
在△OCE和△OBE中
,
∴△OCE≌△OBE,
∴∠OBE=∠OCE=90°,
∴OB⊥BE,
∴BE與⊙O相切;
(2)解:設(shè)⊙O的半徑為r,則OD=r﹣1,
在Rt△OBD中,BD=CD=BC=,
∴(r﹣1)2+()2=r2,解得r=2,
∵tan∠BOD==,
∴∠BOD=60°,
∴∠BOC=2∠BOD=120°,
在Rt△OBE中,BE=OB=2,
∴陰影部分的面積=S四邊形OBEC﹣S扇形BOC
=2S△OBE﹣S扇形BOC
=2××2×2﹣
=4﹣π.
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【題目】經(jīng)過某路口的汽車,可能直行,也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn).如果這三種可能性大小相同,現(xiàn)有甲、乙、丙三輛汽車經(jīng)過這個路口.
(1)求甲、乙兩輛汽車向同一方向行駛的概率;
(2)甲、乙、丙三輛汽車向同一方向行駛的概率是 .
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【題目】為了解今年初三學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況,某校在第一輪模擬測試后,對初三全體同學(xué)的數(shù)學(xué)成績作了統(tǒng)計分析,繪制如下圖表:請結(jié)合圖表所給出的信息解答系列問題:
(1)該校初三學(xué)生共有多少人?
(2)求表中a,b,c的值,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖.
(3)初三(一)班數(shù)學(xué)老師準(zhǔn)備從成績優(yōu)秀的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中任意抽取兩名同學(xué)做學(xué)習(xí)經(jīng)驗介紹,求恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率.
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【題目】某學(xué)校為了解九年級的600名學(xué)生每天的自主學(xué)習(xí)情況,隨機(jī)抽查了九年級的部分學(xué)生,并調(diào)查他們每天自主學(xué)習(xí)的時間.根據(jù)調(diào)查結(jié)果,制作了兩副不完整的統(tǒng)計圖(圖1圖2),請根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息回答下列問題:
(1)本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是 人;
(2)圖2中角是 度;
(3)將圖1條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整;
(4)估算該校九年級學(xué)生自主學(xué)習(xí)不少于1.5小時有多少人.
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【題目】《九章算術(shù)》作為古代中國乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著,與古希臘的《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉.在《九章算術(shù)》中記載有一問題“今有圓材埋在壁中,不知大。凿忎徶钜淮,鋸道長一尺,問徑幾何?”小輝同學(xué)根據(jù)原文題意,畫出圓材截面圖如圖所示,已知:鋸口深為 1寸,鋸道AB=1尺(1尺=10寸),則該圓材的直徑為( )
A.13B.24C.26D.28
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【題目】在平面角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=2x和y=-x的圖像分別為直線l1、l2,過點(1,0)作x軸的垂線交l2于點A1,過點A1作y軸的垂線交l2于點A2,過點A2作x軸的垂線交l1于點A3,過點A3作y軸的垂線交l2于點A4,…,依次進(jìn)行下去,則點A2020的坐標(biāo)為_______________
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【題目】如圖,直線l:y=﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點,拋物線y=ax2﹣2ax+a+4(a<0)經(jīng)過點B.
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)已知點M是拋物線上的一個動點,并且點M在第一象限內(nèi),連接AM、BM,設(shè)點M的橫坐標(biāo)為m,△ABM的面積為S,求S與m的函數(shù)表達(dá)式,并求出S的最大值;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)S取得最大值時,動點M相應(yīng)的位置記為點M′.
①寫出點M′的坐標(biāo);
②將直線l繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到直線l′,當(dāng)直線l′與直線AM′重合時停止旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中,直線l′與線段BM′交于點C,設(shè)點B、M′到直線l′的距離分別為d1、d2,當(dāng)d1+d2最大時,求直線l′旋轉(zhuǎn)的角度(即∠BAC的度數(shù)).
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【題目】為了解某縣建檔立卡貧困戶對精準(zhǔn)扶貧政策落實的滿意度,現(xiàn)從全縣建檔立卡貧困戶中隨機(jī)抽取了部分貧困戶進(jìn)行了調(diào)查(把調(diào)查結(jié)果分為四個等級:A級:非常滿意;B級:滿意;C級:基本滿意;D級:不滿意),并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息解決下列問題:
(1)本次抽樣調(diào)查測試的建檔立卡貧困戶的總戶數(shù)______.
(2)圖1中,∠α的度數(shù)是______,并把圖2條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整.
(3)某縣建檔立卡貧困戶有10000戶,如果全部參加這次滿意度調(diào)查,請估計非常滿意的人數(shù)約為多少戶?
(4)調(diào)查人員想從5戶建檔立卡貧困戶(分別記為)中隨機(jī)選取兩戶,調(diào)查他們對精準(zhǔn)扶貧政策落實的滿意度,請用列表或畫樹狀圖的方法求出選中貧困戶的概率.
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【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,且AB為⊙O的直徑.∠ACB的平分線CD交⊙O于點D,過點D作⊙O的切線PD交CA的延長線于點P,過點A作AE⊥CD于點E,過點B作BF⊥CD于點F.
(1)求證:DP∥AB;
(2)試猜想線段AE、EF、BF之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明;
(3)若AC=6,BC=8,求線段PD的長.
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