Question

【題目】 如圖，一次函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)y=(k＞0)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在以C(-2，0)為圓心，1為半徑的圓上，Q是AP的中點(diǎn)

（1）若AO=，求k的值；

（2）若OQ長的最大值為，求k的值；

（3）若過點(diǎn)C的二次函數(shù)y=ax2+bx+c同時滿足以下兩個條件：①a+b+c=0；②當(dāng)a≤x≤a+1時，函數(shù)y的最大值為4a，求二次項系數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）a的值為-3或2或-4或1．

【解析】

（1）設(shè)A(m，n)，根據(jù)勾股定理和一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出，解方程組即可求得A的坐標(biāo)，代入y=可求得k的值；

（2）作輔助線，先確定OQ長的最大時，點(diǎn)P的位置，當(dāng)BP過圓心C時，BP最長，設(shè)B(t，2t)，則CD=t-(-2)=t+2，BD=-2t，根據(jù)勾股定理計算t的值，可得k的值；

（3）根據(jù)題意寫出拋物線的解析式為：y=ax2+ax-2a=a(x+)2-a，即可判定-在a≤x≤a+1范圍外，故存在兩種可能，即當(dāng)x=a時，有最大值4a，或x=a+1時有最大值4a，分別代入求得即可．

（1）設(shè)A(m，n)，

∵AO=，

∴m2+n2=5，

∵一次函數(shù)y=2x的圖象經(jīng)過A點(diǎn)，

∴n=2m，

∴m2+(2m)2=5，解得m=±1，

∵A在第一象限，

∴m=1，

∴A(1，2)，

∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=(k＞0)的圖象上，

∴k=1×2=2；

（2）如圖，連接BP，

由對稱性得：OA=OB，

∵Q是AP的中點(diǎn)，

∴OQ=BP，

∵OQ長的最大值為，

∴BP長的最大值為×2=3，

如圖2，當(dāng)BP過圓心C時，BP最長，過B作BD⊥x軸于D，

∵CP=1，

∴BC=2，

∵B在直線y=2x上，

設(shè)B(t，2t)，則CD=t-(-2)=t+2，BD=-2t，

在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2，

∴22=(t+2)2+(-2t)2，

t=0(舍)或-，

∴B(-，-)，

∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=(k＞0)的圖象上，

∴k=-×(-)=；

（3）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)C(-2，0)，

∴4a-2b+c=0，

又∵a+b+c=0，

∴b=a，c=-2a，

∴y=ax2+ax-2a=a(x+)2-a，

∵-＜a≤x≤a+1或a≤x≤a+1＜-，

當(dāng)x=a時，取得最大值4a，

則aa2+aa-2a=4a，

解得a=-3或2，

當(dāng)x=a+1時，取得最大值4a，

則a(a+1)2+a(a+1)-2a=4a，

解得a=-4或1，

綜上所述所求a的值為-3或2或-4或1．