Question

如圖①，已知兩個(gè)菱形ABCD和EFGH是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形（菱形ABCD與菱形EFGH的位似比為2：1），∠BAD=120°，對(duì)角線均在坐標(biāo)軸上，拋物線經(jīng)過(guò)AD的中點(diǎn)M。

（1）填空：A點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____，D點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____；
（2）操作：如圖②，固定菱形ABCD，將菱形EFGH繞O點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)α度角（0°＜α＜90°），并延長(zhǎng)OE交AD于P，延長(zhǎng)OH交CD于Q，
探究1：在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中是否存在某一角度α，使得四邊形AFEP是平行四邊形？若存在，請(qǐng)推斷出α的值；若不存在，說(shuō)明理由；
探究2：設(shè)AP=x，四邊形OPDQ的面積為s，求s與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍。

Answer 1

解：（1）A（0，2），D（，0）；
（2）探究1：當(dāng)α=60°時(shí)，四邊形AFEP是平行四邊形
理由如下：
∵兩菱形的位似比為2：1，OA=2，OD=，菱形ABCD邊長(zhǎng)為4，∠BAO=60°
∴菱形EFGH的邊長(zhǎng)EF=AD=2，∠FEO=60°
∵在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中EF的長(zhǎng)和∠FEO的大小始終不變
∴當(dāng)射線OE旋轉(zhuǎn)到經(jīng)過(guò)M點(diǎn)時(shí)，P與M重合，AM=AP=2
△AOP為等邊三角形，∠APO=∠AOP=60°
那么，∠APO=∠FEO=60°，則EF∥AP
又∵EF=AM=2
∴當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度α=∠AOP=60°時(shí)，EF平行且等于AP
∴α=60°時(shí)，四邊形AFEP為平行四邊形。
探究2：過(guò)P點(diǎn)作PR⊥y軸于R，過(guò)Q作QT⊥x軸于T，設(shè)TQ=y，則：
PR=AP·sin60°=，OR=OA-AR=2-AP·cos60°=2-x
OT=OD-DT=-TQ·tan60°=
∵它繞對(duì)稱中心O旋轉(zhuǎn)時(shí)∠POR=∠QOT
∴Rt△POR∽R(shí)t△QOT
∴
∴
化簡(jiǎn)得：
∴S==
=
S與x的函數(shù)關(guān)系式為：S=（0＜x＜4）。