Question

【題目】問題發(fā)現(xiàn)

在等腰三角形ABC中，，分別以AB和AC為斜邊，向的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖1所示，其中于點(diǎn)F，于點(diǎn)G，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME．

填空：線段AF，AG，AB之間的數(shù)量關(guān)系是______；

線段MD，ME之間的數(shù)量關(guān)系是______．

拓展探究

在任意三角形ABC中，分別以AB和AC為斜邊向的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖2所示，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，則MD與ME具有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？并說明理由；

解決問題

在任意三角形ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖3所示，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，若，請直接寫出線段DE的長．

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）由條件可以通過三角形全等和軸對稱的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；

（2）取AB、AC的中點(diǎn)F、G，連接DF，MF，EG，MG，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出四邊形AFMG是平行四邊形，從而得出△DFM≌△MGE，根據(jù)其性質(zhì)就可以得出結(jié)論；

（3）取AB、AC的中點(diǎn)F、G，連接DF，MF，EG，MG，DF和MG相交于H，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)K可以得出△DFM≌△MGE，由全等三角形的性質(zhì)和勾股定理就可以得出答案．

，理由如下：

和是等腰直角三角形，

，

在和中，

，

≌，

，，

于點(diǎn)F，于點(diǎn)G，

，．

，

；

，理由如下：

是BC的中點(diǎn)，

．

，

，

，

即．

在和中，

，

≌，

；

故答案為：；；

，．

理由如下：

取AB，AC的中點(diǎn)F，G，連接DF，FM，MG，EG，設(shè)AB與DM交于點(diǎn)H，如圖2，

和都是等腰直角三角形，

，，．

點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，

和MG都是的中位線，

，，

四邊形AFMG是平行四邊形，

，，

．

在和中，

，，，

≌，

，．

，，

，即；

線段DE的長為，理由如下：

分別取AB，AC的中點(diǎn)F，G，連接MF，DF，MG，EG，設(shè)DF和MG交于點(diǎn)H，如圖3，

和都是等腰直角三角形，

，，．

點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，

和MG都是的中位線，

，，

四邊形AFMG是平行四邊形，

，，

．

在和中，

，，，

≌．

，．

即．

又，

，

是等腰直角三角形，

在中，，由勾股定理，得．