已知拋物線y＝x2＋mx－2m2(m≠0)．

(1)求證：該拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)：

(2)過點(diǎn)P(0，n)作y軸的垂線交該拋物線于點(diǎn)A和點(diǎn)B(點(diǎn)A在點(diǎn)P的左邊)是否存在實(shí)數(shù)m、n，使得AP＝2PB？若存在，則求出m、n滿足的條件；若不存在，請(qǐng)說明理由．

答案：
解析：

　　分析：(1)要證拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，實(shí)際上就是一元二次方程x2＋mx－2m2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，只要證出b2－4ac＞0即可．

　　(2)由題意可知A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)為n，代入拋物線解析式找出m、n的關(guān)系．

　　(1)證明：∵m2－4×1×(－2m)2＝m2＋8m2＝9m2＞0，∴拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．

　　(2)解：存在．

　　由題意知：A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)為n，代入拋物線的解析式得x2＋mx－2m2＝n，即x2＋mx－2m2－n＝0．

　　設(shè)A(x1，n)，B(x2，n)，則|x1|＝2|x2|，即x1＝±2x2．

　�、�

　　消去x1、x2得m2＝－2m2－n，∴n＝(m≠0)．

　�、�

　　消去x1，x2，得－2m2＝－2m2－n，解得n＝0，m≠0的實(shí)數(shù)．

　　所以m、n滿足的條件為n＝(m≠0)或n＝0，m≠0的實(shí)數(shù)．


提示：

　　命題立意：考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系．

　　點(diǎn)評(píng)：此題綜合性強(qiáng)，難度較大，解決的關(guān)鍵是將二次函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，然后求解．


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相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y＝x2－3x－4，則它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是                 .

 

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已知拋物線y＝x2－3x－4，則它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是                  .

 

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2013年遼寧省營口市中考模擬（一）數(shù)學(xué)試卷（帶解析） 題型：解答題

如圖，已知拋物線y＝x2＋bx＋c與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn)， A點(diǎn)的坐標(biāo)為（－1，0），過點(diǎn)C的直線y＝x－3與x軸交于點(diǎn)Q，點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作PH⊥OB于點(diǎn)H．若PB＝5t，且0＜t＜1．

（1）填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)是     ，b＝   ，c＝    ；
（2）求線段QH的長（用含t的式子表示）；
（3）依點(diǎn)P的變化，是否存在t的值，使以P、H、Q為頂點(diǎn)的三角形與△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2013年遼寧省營口市中考模擬（一）數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知拋物線y＝x2＋bx＋c與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn)， A點(diǎn)的坐標(biāo)為（－1，0），過點(diǎn)C的直線y＝x－3與x軸交于點(diǎn)Q，點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作PH⊥OB于點(diǎn)H．若PB＝5t，且0＜t＜1．

（1）填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)是     ，b＝   ，c＝    ；

（2）求線段QH的長（用含t的式子表示）；

（3）依點(diǎn)P的變化，是否存在t的值，使以P、H、Q為頂點(diǎn)的三角形與△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，說明理由．

 

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2011屆江蘇省太倉市九年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)卷 題型：填空題

已知拋物線y＝x2－x－1與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(m，0)，則代數(shù)式m2－m＋2011的值是    ▲    ．

 

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