Question

如圖，大半圓O與小半圓O₁相切于點C，大半圓的弦AB與小半圓相切于點F，且AB∥CD，AB=6cm，CD=12cm，則圖中陰影部分的面積是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：將⊙O₁移動到O₁與O重合，則F和F′重合，連接OB，得出陰影部分的面積是：S=（π×OB²-π×OF′²）-（S_扇形AOB-S_三角形AOB），求出OF′⊥AB，由垂徑定理求出AF′=BF′=3cm，代入即可得出答案．
解答：將⊙O₁移動到O₁與O重合，則F和F′重合，連接OB，AO，
∵AB∥CD，AB=6cm，CD=12cm，AB切⊙O₁于F，
∴OF⊥AB，
∴OF′⊥AB，
∴由垂徑定理得：AF′=BF′=3cm，
在Rt△BOF′中，BF′=3cm，BO=CD=6cm，
即BF′=OB，
∵∠BOF′=30°，由勾股定理得：OF′=3cm，
同理∠AOF′=30°，
∴∠AOB=60°，
∴陰影部分的面積是S=（π×OB²-π×OF′²）-（S_扇形AOB-S_△AOB）
=π×（OB²-OF′²）-+×6×3
=π×BF′²-6π+9
=π×9-6π+9
=（9-π）cm²．
故選A．
點評：本題考查了勾股定理，垂徑定理，切線性質等知識點，解此題關鍵是得出陰影部分的面積S=（π×OB²-π×OF′²）-（S_扇形AOB-S_三角形AOB）=π×BF′²-（S_扇形AOB-S_三角形AOB），題目比較典型，是一道比較好的題目．