Question

如圖，A是半徑為6cm的⊙O上的定點(diǎn)，動點(diǎn)P從A出發(fā)，以πcm/s的速度沿圓周按順時針方向運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P回到A時立即停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動時間為t（s）
（1）當(dāng)t=6s時，∠POA的度數(shù)是______；
（2）當(dāng)t為多少時，∠POA=120°；
（3）如果點(diǎn)B是OA延長線上的一點(diǎn)，且AB=AO，問t為多少時，△POB為直角三角形？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)路程=速度×時間得出當(dāng)t=6s時，點(diǎn)P運(yùn)動的路程即的長度，再根據(jù)弧長公式即可求出∠POA的度數(shù)；
（2）當(dāng)∠POA=120°時，點(diǎn)P運(yùn)動的路程為⊙O周長的或，所以分兩種情況進(jìn)行分析；
（3）△POB為直角三角形時，由于動點(diǎn)P沿圓周運(yùn)動，所以以B為頂點(diǎn)的角不可能為直角，那么分∠POB=90°，∠OPB=90°兩種情況進(jìn)行分析．
解答：解：（1）設(shè)∠POA=n°，則
=6π=，
∴n=180．
即∠POA的度數(shù)是180．
故答案為180；

（2）當(dāng)∠POA=120°時，如圖，點(diǎn)P運(yùn)動的路程為⊙O周長的（圖中P₁處）或（圖中P₂處），
設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為ts．
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為⊙O周長的時，π•t=•2π•6，
解得t=4；
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為⊙O周長的時，π•t=•2π•6，
解得t=8；
∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動的時間t為4s或8s時，∠POA=120°；

（3）分兩種情況：
①當(dāng)∠POB=90°時，如圖，點(diǎn)P運(yùn)動的路程為⊙O周長的（圖中P₁處）或（圖中P₂處），
設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為ts．
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為⊙O周長的時，π•t=•2π•6，
解得t=3；
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為⊙O周長的時，π•t=•2π•6，
解得t=9．
∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為3s或9s時，△POB為直角三角形；
②當(dāng)∠OPB=90°時，如圖，（圖中P₃處）或（圖中P₄處），
設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為ts．
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動P₃處時，連接AP₃．
∵∠OP₃B=90°，OA=AB，
∴AP₃=OA=OP₃，
∴△OAP₃是等邊三角形，
∴∠AOP₃=60°，
∴π•t=•2π•6，
解得t=2；
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動P₄處時，連接AP₄．
∵∠OP₄B=90°，OA=AB，
∴AP₄=OA=OP₄，
∴△OAP₄是等邊三角形，
∴∠AOP₄=60°，
∴π•t=（1-）•2π•6，
解得t=10．
∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為2s或10s時，△POB為直角三角形．
綜上可知，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為2s或3s或9s或10s時，△POB為直角三角形．
點(diǎn)評：本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，直角三角形的性質(zhì)等知識，綜合性較強(qiáng)，難度中等．進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵，本題容易漏解．