Question

如圖1，拋物線y=ax²+bx+c交y軸于點為A（0，3），交x軸于點B、C（點B在點C的左側，）頂點為E（1，4），過點A作x軸的平行線AL，

（1）求拋物線的解析式及B點的坐標；
（2）點P從頂點E出發(fā)沿對稱軸右側的拋物線運動，過點P作直線PQ平行于y軸交直線AL于點Q，保持點Q以每秒1個單位的速度向右運動，同時點R從原點O出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿x軸正方向運動，設運動時間為t秒，
①若點P在直線AL的下方，當t為何值時，以A、P、Q為頂點的三角形與△AOR相似？
②當t=0時，以點A、P、R、Q為頂點的四邊形是梯形，如圖2，是否還存在另外的t值，使以點A、P、R、Q為頂點的四邊形是梯形？若存在，求出t的值，并直接寫出該梯形的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據頂點坐標設拋物線的解析式為y=a（x-1）²+4，然后把點A的坐標代入求出a的值即可得解，再令y=0，解關于x的一元二次方程，即可得到點B的坐標；
（2）①先求出拋物線的對稱軸解析式，再根據點P、R的速度求出AQ，OR，利用拋物線解析式表示出PQ，再分AQ和AO是對應邊，AQ和OR是對應邊，利用相似三角形對應邊成比例列式求解即可得到t的值；
②點P與點C重合時，PR∥AQ，四邊形APRQ是梯形，根據點C的坐標求出時間，然后表示出AQ、PR，再利用梯形的面積公式列式計算即可得解；AP∥QR時，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠APQ=∠PQR，設PQ與x軸相交于D，從而得到△APQ和△RQD相似，然后表示出AQ、RD，再根據拋物線解析式表示出PQ，利用相似三角形對應邊成比例列式求出時間t，再根據梯形的面積=S_△APQ+S_△PQR，列式計算即可得解．
解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x-1）²+4，
把（0，3）代入，得，a+4=3，
解得，a=-1，
所以，函數的解析式為，y=-（x-1）²+4，
即：y=-x²+2x+3，
在y=-x²+2x+3中，令y=0，則-x²+2x+3=0，
解得，x=-1或3，
所以，B點的坐標是（-1，0）；

（2）①∵y=-（x-1）²+4，
∴拋物線的對稱軸為直線x=1，
∵點Q的速度為每秒1個單位，點R的速度為每秒2個單位，
∴AQ=t+1，OR=2t，
∵點P在拋物線上，PQ∥y軸，
∴PQ=3-[（-（t+1）²+2（t+1）+3]=（t+1）²-2（t+1），
若AQ和AO是對應邊，∵△AQP∽△AOR，
∴=，
即=，
解得t=3，
若AQ和OR是對應邊，∵△AQP∽△ROA，
∴=，
即=，
整理得，2t²-2t-3=0，
解得t₁=，t₂=（舍去），
綜上所述，t=或3時，以A、P、Q為頂點的三角形與△AOR相似；

②當點P在x軸上即點P與點C重合時，PR∥AQ，四邊形APRQ是梯形，
∵點C的坐標為（3，0），
∴AQ=t+1=3，
解得t=2，
∴AQ=2+1=3，PR=OR-OP=2×2-3=1，
S_梯形AQRP=（3+1）×3=6；

AP∥QR時，∠APQ=∠PQR，
設PQ與x軸相交于D，
又∵∠AQP=∠RDQ=90°，
∴△APQ∽△RQD，
∵AQ=t+1，RD=OR-OD=2t-（t+1）=t-1，
PQ=（t+1）²-2（t+1），
∴=，
即=，
整理得，（t-1）²=3，
解得t=1+或t=1-（舍去），
此時，PQ=（1++1）²-2（1++1）=2+3，
AQ=1++1=2+，
RD=1+-1=，
梯形的面積=S_△APQ+S_△PQR，
=×（2+）×（2+3）+×（2+3）×，
=×（2+3）×（2++），
=（2+3）×（1+），
=2+6+3+3，
=9+5．
綜上所述，t=2時，以點A、P、R、Q為頂點的四邊形是梯形，面積是6，
t=1+時，以點A、P、R、Q為頂點的四邊形是梯形，面積是9+5．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了待定系數法求二次函數解析式，相似三角形的判定與性質，梯形的對邊的性質，（1）利用頂點式形式求解更加簡便，（2）難點在于兩個小題都要分情況討論．