Question

【題目】“我們應該討論一般化、特殊化和類比這些過程本身，他們是獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉”——喬治·波利亞．

（1）觀察猜想

如圖1，在△ABC中，CA=CB，．點D在AC上，點E在BC上，且CD=CE．則BE與AD的數(shù)量關系是______，直線BE與直線AD的位置關系是______；

（2）拓展探究

如圖2，在△ABC和△CDE中，CA=CB，CD=CE，．則BE與AD的數(shù)量關系怎樣？直線BE與直線AD的位置關系怎樣？請說明理由；

（3）解決問題

如圖3，在△ABC中，CA=CB，，BD是△ABC的角平分線，點M是AB的中點．點P在射線BD上，連接PM，以點M為中心，將PM逆時針旋轉90°，得到線段MN，請直接寫出點A，P，N在同一條直線上時的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）

【解析】

（1）利用等量線段相減的關系得到BE=AD；由直線BE與直線AD的夾角得BE⊥AD；

（2）先利用SAS證明，由此得到，再根據(jù)三角形的內角和及對頂角相等的性質得到，由此證得；

（3）分兩種情況，連接CP，證明△AMN≌△CMP，即可求出∠CPM=∠ANM，得到答案.

（1）

∵CA=CB,CD=CE,

∴CA-CD=CB-CE,

∴BE=AD；

∵直線BE與直線AD的夾角，

∴BE⊥AD；

故答案為：BE=AD，；

（2）BE=AD，；

設直線交于點.

∵，

，

.

.

.

,

.

即；

（3）如圖①，連接CM，

∵CA=CB，，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∵M是AB的中點，

∴CM=AM=BM,∠AMC=90，

由旋轉得：MN=MP,∠PMN=90，

∴∠AMN=∠CMP,∠MNP=∠MPN=45，

∴△AMN≌△CMP，

∴∠CPM=∠ANM=180-45=135；

如圖②連接CM，

∵CM=AM，∠AMN=∠CMP， MN=MP，

∴△AMN≌△CMP，

∴∠CPM=∠ANM=45.