Question

下列五個命題：①若直角三角形的兩條邊長為3與4，則第三邊長是5；②若四邊形的兩對角線相等，則此四邊形一定是矩形；③若點P（a，b）在第三象限，則點Q（-a，-b+1）在第一象限；④存在銳角α，使sinα+cosα=1；⑤兩邊及其第三邊上的中線對應相等的兩個三角形全等．其中正確的命題是（ ）
A．①②③
B．②③④
C．③⑤
D．④⑤

Answer 1

【答案】分析：①兩直角邊為3、4，則第三邊為5，②對角線相等的四邊形可能是等腰梯形；③根據第三象限內點的符號可判斷a、b的符號，④根據三角函數的定義，可得sinα+cosα＞1；⑤可以證明兩三角形全等．
解答：解：①分兩種情況進行討論：當兩直角邊為3，4時，斜邊為5；當一直角邊為3，斜邊為4時，另一直角邊為；
②分兩種情況進行討論：可以為矩形，還可以為等腰梯形；
③根據題意得a＜0，b＜0，則-a＞0，-b+1＞0，則點Q（-a，-b+1）在第一象限；
④設α為一銳角，對邊為a，鄰邊為b，斜邊為c，
根據三角函數的定義，得sinα+cosα=+=，
∵a+b＞c，∴sinα+cosα＞1；
⑤設AB=A′B′，BC=B′C′，OB=O′B′，且OB，O′B′為中線，
延長BO，B′O′到P，P′，使BO=OP，B′O′=O′P′．
則四邊形ABCP和A′B′C′P′是平行四邊形，
所以AB=A′B′，AP=BC=B′C′=A′P′，BP=2OB=2O′B′=P′B′，
所以△ABP≌△A′P′B′，
所以∠ABP=∠A′B′P′，
所以∠ABC=2∠ABP=2∠A′B′P′=∠A′B′C′，
又以為AB=A′B′，BC=B′C′，
△ABC≌△A′B′C′．
故選C．
點評：本題考查了命題與定理以及等腰梯形的性質，找出命題的題設和結論是解題的關鍵．