Question

在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝C．若∠C＝90°，如圖1，則根據(jù)勾股定理，得a²＋b²＝c²．若△ABC不是直角三角形，如圖2和圖3，請(qǐng)你類比勾股定理，試猜想a²＋b²與c²的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

答案：
解析：

分析：本題是一道與勾股定理有關(guān)的探索性試題，首先通過(guò)作三角形的高，將銳角三角形或鈍角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，然后根據(jù)勾股定理找出邊長(zhǎng)之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而推理說(shuō)明． 　　解：若△ABC是銳角三角形，則有a2＋b2＞c2；若△ABC是鈍角三角形，∠C為鈍角，則有a2＋b2＜c2． 　　證明：(1)當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，如圖所示． 　　過(guò)點(diǎn)A作AD⊥CB，垂足為D． 　　設(shè)CD＝x，則有DB＝a－x， 　　根據(jù)勾股定理，得b2－x2＝c2－(a－x)2， 　　即b2－x2＝c2－a2＋2ax－x2． 　　所以a2＋b2＝c2＋2ax． 　　因?yàn)閍＞0，x＞0，所以2ax＞0． 　　所以a2＋b2＞c2． 　　(2)當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，則有a2＋b2＜c2，如圖所示． 　　過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D． 　　設(shè)CD＝x，則在Rt△BDC中，BD2＝a2－x2． 　　在Rt△ADB中，根據(jù)勾股定理，得(b＋x)2＋a2－x2＝c2， 　　即b2＋2bx＋x2＋a2－x2＝c2． 　　所以a2＋b2＋2bx＝c2． 　　因?yàn)閎＞0，x＞0，所以2bx＞0．所以a2＋b2＜c2． 　　點(diǎn)評(píng)：這兩種情況的證明都利用了高的平方的兩種表達(dá)式列出等式，進(jìn)行了討論，得到結(jié)果．