Question

如圖，在平面直角坐標系中，∠AOB=60°，點B坐標為（1，0），線段OA的長為4．
（1）在圖中畫出△COD，使它和△AOB關于y軸對稱；（其中點A和點C是對稱點）
（2）求線段AC的長度；
（3）若直線AD的解析式為y=kx+

2 3

3

，試求出k的值和點A的坐標．

Answer 1

分析：本題考查一次函數與軸對稱知識的綜合應用，在（1）中要準確畫出圖形，再利用對稱性質求出線段AC長度．（3）先求出D點坐標，在根據三角函數求出A點橫坐標，代入求值即可．

解答：解：（1）見圖（不要求尺規(guī)作圖，要有直角符號，沒有扣1分），
（3分）

（2）證法一：在Rt△AOP
中，∠AOP=90°-60°=30°
AP=

1

2

OA=

1

2

×4=2（5分）
∵△COD和△AOB關于y軸對稱
∴AC=2AP=4（6分）
證法二：∵∠AOB=60°，AC⊥y軸于點P
∴∠OAC=60°（4分）
∴△AOC是等邊三角形（5分）
∴AC=AB=4（6分）

（3）由點B坐標為（1，0），得點D坐標為（-1，0）（7分）
代入y=kx+

2 3

3

得到0=-k+

2 3

3

（8分）
解得：k=

2 3

3

（9分）
由（2）知AP=2，所以得點A橫坐標為2（10分）
當x=2時，y=kx+

2 3

3

=

2 3

3

×2+

2 3

3

=2

3

（11分）
∴點A坐標為（2，2

3

）．（12分）
（說明：用勾股定理或銳角三角函數解題只要正確不扣分，但要求說出名稱及內容）

點評：本題綜合考查了一次函數與幾何知識的應用，題中運用軸對稱與直線的關系以及直角三角形等知識求出線段的長是解題的關鍵．