Question

如圖，已知一張長方形紙片ABCD，AB∥CD，AD=BC=1，AB=CD=5．在長方形ABCD的邊AB上取一點M，在CD上取一點N，將紙片沿MN折疊，使MB與DN交于點K，得到△MNK．
（1）請你動手操作，判斷△MNK的形狀一定是______；
（2）問△MNK的面積能否小于？試說明理由；
（3）如何折疊能夠使△MNK的面積最大？請你用備用圖探究可能出現(xiàn)的情況，并求最大值．

Answer 1

解：（1）等腰三角形．
理由：∵AB∥CD，
∴∠MNK=∠1，
由折疊的性質(zhì)可得：∠1=∠NMK，
∴∠MNK=∠NMK，
∴MK=NK，
即△MNK是等腰三角形；
故答案為：等腰三角形；

（2）不能．
理由：∵AB∥CD，
∴∠KNM=∠NMB，
又∵∠KMN=∠NMB；
∴∠KMN=∠KNM，
∴KM=KN，
如圖1所示：過點M作MH⊥KN于點H，
∴MH=AD=1，
∴在Rt△KMH中，KM＞MH，即KN=KM＞1，
如圖2所示：KM⊥KN，此時KM最小，KM=KN=1，
∴KN≥1，
∴S_△MNK=KN•MH≥×1×1=，
∴△MNK的面積不可能小于；

（3）分兩種情況討論．
情況一：如圖3，將矩形紙片對折，使點B與D重合，此時點K也與D重合．
設MK=MB=x，則AM=5-x．
由勾股定理得1²+（5-x）²=x²，
解得x=2.6；
∴S_△MNK=×2.6×1=1.3；
情況二：如圖4，將矩形紙片沿對角線AC對折，此時折痕即為AC．
設MK=AK=CK=x，則DK=5-x．
同理可得x=2.6．
∴S_△MNK=×2.6×1=1.3；
∴△MNK的面積最大值為1.3．
分析：（1）由AB∥CD與折疊的性質(zhì)易得∠MNK=∠NMK，即可證得MK=NK，即△MNK的形狀一定是等腰三角形；
（2）分兩種情況分析：如圖1所示：過點M作MH⊥KN于點H，如圖2所示：KM⊥KN，此時KM最小，KM=KN=1，則可求得S_△MNK=KN•MH≥×1×1=；
（3）分兩種情況討論．情況一：如圖3，將矩形紙片對折，使點B與D重合，此時點K也與D重合．情況二：如圖4，將矩形紙片沿對角線AC對折，此時折痕即為AC．利用方程思想求解，即可求得答案．
點評：此題考查了折疊的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的面積問題．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應用．