Question

【題目】如圖，A、F、B、C是半圓O上的四個點，四邊形OABC是平行四邊形，∠FAB＝15°，連接OF交AB于點E，過點C作CD∥OF交AB的延長線于點D，延長AF交直線CD于點H.

（1）求證：CD是半圓O的切線；

（2）若DH＝，求EF的長和半徑OA的長.

Answer 1

【答案】（1）證明過程見解析；（2）EF=2-；OA=2.

【解析】試題分析：（1）連接OB，根據已知條件得到△AOB是等邊三角形，得到∠AOB=60°，根據圓周角定理得到∠AOF=∠BOF=30°，根據平行線的性質得到OC⊥CD，由切線的判定定理即可得到結論；（2）根據平行線的性質得到∠DBC=∠EAO=60°，解直角三角形得到BD=BC=AB，推出AE=AD，根據相似三角形的性質得到，求得EF=2﹣，根據直角三角形的性質即可得到結論．

試題解析：（1）連接OB， ∵OA=OB=OC， ∵四邊形OABC是平行四邊形， ∴AB=OC，

∴△AOB是等邊三角形， ∴∠AOB=60°， ∵∠FAD=15°， ∴∠BOF=30°， ∴∠AOF=∠BOF=30°，

∴OF⊥AB， ∵CD∥OF， ∴CD⊥AD， ∵AD∥OC， ∴OC⊥CD， ∴CD是半圓O的切線；

（2）∵BC∥OA， ∴∠DBC=∠EAO=60°， ∴BD=BC=AB， ∴AE=AD， ∵EF∥DH，∴△AEF∽△ADH，

∴， ∵DH=6﹣3， ∴EF=2﹣， ∵OF=OA， ∴OE=OA﹣（2﹣），

∵∠AOE=30°， ∴==， 解得：OA=2．