正實數(shù)a、b滿足ab=ba,且a<1,求證:a=b.
分析:首先通過已知可知ab=ba>0,因而對其兩邊取對數(shù),可得到
lna
a
=
lnb
b
.我們設想f(x)=
lnx
x
.只要證得f(x)在0<x<1 時為單調函數(shù),必然可得到a=b.如何求單調,只需求其單調性,只要求f(x)的導數(shù)即可.
解答:解:∵ab=ba?ln(ab)=ln(ba)?blna=alnb?
lna
a
=
lnb
b
,
∴令f(x)=
lnx
x
,
∵求導可得f(x)是單調函數(shù),
∴不可能有a≠b,而
lna
a
=
lnb
b
,
∴a=b.
點評:本題考查求導公式的應用、分式的等式證明.解決本題的關鍵是通過將ab=ba轉會為
lna
a
=
lnb
b
,再利用函數(shù)的單調性證明.
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