Question

（2008•寶安區(qū)二模）在Rt△OAB中，∠AOB=90°，已知AB=

10

，tan∠OAB=3，將△OAB繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ODC，如圖1建立坐標(biāo)系．
（1）寫出A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)（不必寫過程）；
（2）若拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，如圖2，M是拋物線的頂點(diǎn)，試判定△MCD的形狀，并說明理由；
（3）在（2）的拋物線上，且在第一象限中，是否存在點(diǎn)P，使四邊形BDCP的面積W最大？若存在，請求出這個(gè)最大面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）在Rt△OAB中，已知AB長和∠OAB的正切值，通過解直角三角形能求出OA、OB的長，即可確定A、B的坐標(biāo)．而△OCD是由△OAB旋轉(zhuǎn)所得，因此根據(jù)OC=OB即可確定點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）首先利用待定系數(shù)法確定拋物線的解析式，進(jìn)而能求得點(diǎn)M的坐標(biāo)．然后根據(jù)M、D、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，找出圖中相等的角，利用角之間的關(guān)系來判斷△MCD的形狀．
（3）根據(jù)拋物線的解析式，先設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，過P作x軸的垂線，那么四邊形BDCP的面積可由五邊形的面積（梯形+三角形）減去△OCD得到面積求得，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷出是否存在W的最大值．

解答：解：（1）Rt△OAB中，AB=

10

，tan∠OAB=3，
∴OA=1，OB=3，即：A（-1，0）、B（0，3）；
∵△OCD是由△OAB繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°所得
∴OC=OB=3，即：C（3，0）；
綜上，A（-1，0）、B（0，3）、C（3，0）．

（2）設(shè)拋物線的對稱軸與線段CD交于點(diǎn)F、與x軸交于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DE⊥MG于E，如右圖；
設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-3），代入點(diǎn)B的坐標(biāo)，得：
a（0+1）（0-3）=3，a=-1
∴拋物線的解析式：y=-（x+1）（x-3）=-（x+1）²+4，即 M（1，4）；
由題意知：OD=OA=1，則 D（0，1）；
∴E（1，1）、G（1，0）；
∴DE=1，ME=4-1=3
∴tan∠DME=

DE

ME

=

1

3

=tan∠DCO，即：∠DME=∠DCO，
又∵∠MFD=∠CFG，
∴∠MDF=∠FGC=90°，即△MCD是直角三角形．

（3）過點(diǎn)P作PN⊥x軸于N，如右圖；
設(shè)點(diǎn)P（x，-x²+2x+3），則：PN=-x²+2x+3、ON=x、CN=3-x；
由圖知：S_{四邊形BPCD}=S_梯形BPNO+S_△PNC-S_△OCD，則有：
W=

1

2

×[3+（-x²+2x+3）]×x+

1

2

×（-x²+2x+3）×（3-x）-

1

2

×1×3
=-

3

2

x²+

9

2

x+3
=-

3

2

（x-

3

2

）²+

51

8

∴存在符合條件的點(diǎn)P，且W的最大值為：

51

8

．

點(diǎn)評(píng)：題目考查了圖形的旋轉(zhuǎn)、函數(shù)解析式的確定、特殊三角形的判定以及圖形面積的解法等綜合知識(shí)，在解題過程中，要注意數(shù)形結(jié)合思想的合理應(yīng)用，難度適中．