Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm．D、E分別為邊AB、BC的中點(diǎn)，連接DE．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AD-DE-EB運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B停止．點(diǎn)P在線段AD上以cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，在折線DE-EB上以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q，以PQ為邊作正方形PQMN，使點(diǎn)M在線段AQ上．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DP的長(zhǎng)為_(kāi)_____cm（用含t的代數(shù)式表示）．
（2）當(dāng)點(diǎn)N落在AB邊上時(shí)，求t的值．
（3）當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時(shí)，設(shè)五邊形的面積為S（cm²），求S與t的函數(shù)關(guān)系式．
（4）連接CD，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)D重合時(shí)，有一點(diǎn)H從點(diǎn)M出發(fā)，在線段MN上以2.5cm/s的速度沿M-N-M連續(xù)做往返運(yùn)動(dòng)，直至點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，點(diǎn)H停止往返運(yùn)動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H始終在線段MN的中點(diǎn)處，直接寫(xiě)出在點(diǎn)P的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)H落在線段CD上時(shí)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）點(diǎn)P在AD段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2s，則DP的長(zhǎng)度為（t-2）cm；
（2）當(dāng)點(diǎn)N落在AB邊上時(shí)，有兩種情況，如圖（2）所示．利用運(yùn)動(dòng)線段之間的數(shù)量關(guān)系求出時(shí)間t的值；
（3）當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時(shí)，有兩種情況，分別用時(shí)間t表示各相關(guān)運(yùn)動(dòng)線段的長(zhǎng)度，如圖（3）a利用“S=S_梯形AQPD-S_△AMF=（PD+AQ）•PQ- AM•FM”求出面積S的表達(dá)式；如圖（3）b利用“S=S_梯形AQPG-S_△AMF=（PG+AC）•PC- AM•FM”求出面積S的表達(dá)式；
（4）本問(wèn)涉及雙點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，首先需要正確理解題意，然后弄清點(diǎn)H、點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程：
當(dāng)4＜t＜6時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動(dòng)，如圖（4）a所示．此時(shí)點(diǎn)H將兩次落在線段CD上；
當(dāng)6≤t≤8時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動(dòng)，如圖（4）b所示．此時(shí)MN與CD的交點(diǎn)始終是線段MN的中點(diǎn)，即點(diǎn)H．
解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=4cm，
∴AB===，
D為AB中點(diǎn)，∴AD=，
∴點(diǎn)P在AD段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為=2s．
當(dāng)點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動(dòng)時(shí)，DP段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（t-2）s，
∵DE段運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，∴DP=（t-2）cm．

（2）當(dāng)點(diǎn)N落在AB邊上時(shí)，有兩種情況，如下圖所示：

①如圖（2）a，此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)N重合，P位于線段DE上．
由三角形中位線定理可知，DM=BC=2，∴DP=DM=2．
由（1）知，DP=t-2，∴t-2=2，∴t=4；
②如圖（2）b，此時(shí)點(diǎn)P位于線段EB上．
∵DE=AC=4，∴點(diǎn)P在DE段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4s，
∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4．
∵PN∥AC，∴PN：PB=AC：BC=2，∴PN=2PB=16-2t．
由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=．
所以，當(dāng)點(diǎn)N落在AB邊上時(shí)，t=4或t=．

（3）當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時(shí)，有兩種情況，如下圖所示：

①當(dāng)2＜t＜4時(shí)，如圖（3）a所示．
DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t，AQ=AC-CQ=2+t，AM=AQ-MQ=t．
∵M(jìn)N∥BC，∴FM：AM=BC：AC=1：2，∴FM=AM=t．
S=S_梯形AQPD-S_△AMF=（DP+AQ）•PQ-AM•FM=[（t-2）+（2+t）]×2-t•t=-t²+2t；
②當(dāng)＜t＜8時(shí)，如圖（3）b所示．
PE=t-6，∴PC=CM=PE+CE=t-4，AM=AC-CM=12-t，PB=BE-PE=8-t，
∴FM=AM=6-t，PG=2PB=16-2t，
S=S_梯形AQPG-S_△AMF=（PG+AC）•PC-AM•FM=[（16-2t）+8]×（t-4）-（12-t）•（6-t）=t²+22t-84．
綜上所述，S與t的關(guān)系式為：S=


（4）依題意，點(diǎn)H與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)分為兩個(gè)階段，如下圖所示：

①當(dāng)4＜t≤6時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動(dòng)，如圖（4）a所示．
此階段點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2s，因此點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)距離為2.5×2=5cm，而MN=2，
則此階段中，點(diǎn)H將有3次機(jī)會(huì)落在線段CD上：
第一次：此時(shí)點(diǎn)H由M→H運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（t-4）s，運(yùn)動(dòng)距離MH=2.5（t-4）cm，∴NH=2-MH=12-2.5t；
又DP=t-2，DN=DP-2=t-4，由DN=2NH得到：t-4=2（12-2.5t），解得t=；
第二次：此時(shí)點(diǎn)H由N→H運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t-4-=（t-4.8）s，運(yùn)動(dòng)距離NH=2.5（t-4.8）=2.5t-12；
又DP=t-2，DN=DP-2=t-4，由DN=2NH得到：t-4=2（2.5t-12），解得t=5；
②當(dāng)6≤t≤8時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動(dòng)，如圖（4）b所示．
由圖可知，在此階段，始終有MH=MC，即MN與CD的交點(diǎn)始終為線段MN的中點(diǎn)，即點(diǎn)H．
綜上所述，在點(diǎn)P的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)H落在線段CD上時(shí)t的取值范圍是：t=或t=5或6≤t≤8．
點(diǎn)評(píng)：本題是運(yùn)動(dòng)型綜合題，涉及到動(dòng)點(diǎn)型（兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)）和動(dòng)線型，運(yùn)動(dòng)過(guò)程復(fù)雜，難度頗大，對(duì)同學(xué)們的解題能力要求很高．讀懂題意，弄清動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)線的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，是解題的要點(diǎn)．注意第（2）、（3）、（4）問(wèn)中，分別涉及多種情況，需要進(jìn)行分類討論，避免因漏解而失分．