Question

【題目】如圖，矩形OABC中，點A在x軸上，點C在y軸上，點B的坐標(biāo)是，矩形OABC沿直線BD折疊，使得點C落在對角線OB上的點E處，折痕與OC交于點D．

（1）求直線OB的解析式及線段OE的長；

（2）求直線BD的解析式及點E的坐標(biāo)；

（3）若點P是平面內(nèi)任意一點，點M是直線BD上的一個動點，過點M作軸，垂足為點N，在點M的運動過程中是否存在以P、N、E、O為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），OE=4；（2），；（3）存在，點M的坐標(biāo)為或或或

【解析】

利用待定系數(shù)法求出k，再利用勾股定理求出OB，由折疊求出，即可得出結(jié)論；

利用勾股定理求出點D坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，最后用三角形的面積公式求出點E的橫坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；

分兩種情況，利用菱形的性質(zhì)求出點N坐標(biāo)，進(jìn)而得出點M的橫坐標(biāo)，代入直線BD解析式中，即可得出結(jié)論．

解：設(shè)直線OB的解析式為，

將點代入中，得，

，

直線OB的解析式為，

四邊形OABC是矩形，且，

，，

，，

根據(jù)勾股定理得，，

由折疊知，，

；

設(shè)，

，

由折疊知，，，

在中，，

根據(jù)勾股定理得，，

，

，

，，

設(shè)直線BD的解析式為 ，

，

∴6k`+5=8

∴K`=

直線BD的解析式為，

由知，直線OB的解析式為，

設(shè)點，

根據(jù)的面積得，，

，

；

由知，，

以P、N、E、O為頂點的四邊形是菱形，

當(dāng)OE是菱形的邊時，，

或，

Ⅰ、當(dāng)時，

軸，

點M的橫坐標(biāo)為4，

點M是直線BD：上，

，

Ⅱ、當(dāng)時，

軸，

點M的橫坐標(biāo)為，

點M是直線BD：上，

，

當(dāng)OE是菱形的對角線時，記對角線的交點為，，

由知，，

，

由知，直線OB的解析式為，

點過直線PN，

直線PN的解析式為，

令，

，

，

，

軸，

點M的橫坐標(biāo)為，

點M是直線BD：上，

，

當(dāng)ON為對角線時，ON與EP互相平分，

點，

；

即：點M的坐標(biāo)為或或或