Question

如圖(1)，有一塊塑料矩形模板ABCD，長為10cm，寬為4cm，將你手中足夠大的直角三角板 PHF 的直角頂點(diǎn)P落在AD邊上(不與A、D重合)，在AD上適當(dāng)移動(dòng)三角板頂點(diǎn)P： （1）能否使你的三角板兩直角邊分別通過點(diǎn)B與點(diǎn)C？若能，請(qǐng)你求出這時(shí) AP 的長；若不能，請(qǐng)說明理由． （2）再次移動(dòng)三角板位置，使三角板頂點(diǎn)P在AD上移動(dòng)，直角邊PH 始終通過點(diǎn)B，另一直角邊PF與DC的延長線交于點(diǎn)Q，與BC交于點(diǎn)E，能否使CE=2cm？若能，請(qǐng)你求出這時(shí)AP的長；若不能，請(qǐng)你說明理由．

Answer 1

（1）設(shè)兩直角邊PH，PF能分別通過點(diǎn)B與點(diǎn)C， ∵∠HPF=90°，∴PB2+PC2=BC2=100 又設(shè)PA=x，∵∠A=∠D=90°，在△ABP，△PDC中 ∴PA2+AB2=PB2，PD2+CD2=PC2 ∵PA+PD=AD=10，AB=CD=4 ∴x2+16+(10-x)2+16=PB2+PC2=100 化簡得:x2-10x+16=0 解之得:x1=2，x2=8 ∵2<10，8<10 ∴當(dāng)PA=2cm或8cm時(shí)，三角板兩直角邊PH，PF分別通過點(diǎn)B，C. （2）如圖（2），過點(diǎn)E作EG⊥AD于點(diǎn)G，∴∠PGE=90° 根據(jù)題意得：DG=CE=2，EG=CD=4 ∵BE+CE=BC=10 ∴BC=8 在△PBE中，∵∠BPE=90° ∴PB2+PE2=BE2=64 又∵∠A=∠D=90° ∴AP2+AB2=PB2，PG2+PG2+EG2=PE2 而AB=EG=4，設(shè)AP=X，則PG=8-x ∴x2+16+(8-x)2+16=64 化簡得:x2-8x+16=0 解之得:x1=x2=4 答：當(dāng)AP=4時(shí)，PH經(jīng)過點(diǎn)B，PF與BC交于點(diǎn)E，且CE=2cm.