Question

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的斜邊AB在x軸上，點C在y軸上，∠ACB=90°，AC、BC的長分別是一元二次方程x²-14x+48=0的兩個根（AC＜BC）．動點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿AB向點B勻速運(yùn)動；同時，動點N從點B出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿BA向點A勻速運(yùn)動．過線段MN的中點G作邊AB的垂線，垂足為點G，交△ABC的另一邊于點P，連接PM、PN，當(dāng)點N運(yùn)動到點A時，M、N兩點同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．
（1）直接寫出點C的坐標(biāo)，C（0，4.8）；當(dāng)t=2.5秒時，動點M、N相遇；
（2）若點E在坐標(biāo)軸上，平面內(nèi)是否存在點F，使以點B、C、E、F為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點F的坐標(biāo)若不存在，請說明理由．
（3）設(shè)△PMN的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式以及自變量范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出AC、BC、AB、再根據(jù)$\frac{1}{2}$•AC•BC=$\frac{1}{2}$•CO•AB求出OC即可解決問題．
（2）存在，如圖1中，分兩種情形討論①當(dāng)BC為對角線時，∵②當(dāng)BC為邊時，點E′在x軸上時或點E″在y軸上時，分別求出點F坐標(biāo)即可．
（3）分三種情況求函數(shù)解析式，①0＜t≤$\frac{7}{5}$，②$\frac{7}{5}$＜t＜$\frac{5}{2}$③$\frac{5}{2}$＜t≤$\frac{10}{3}$先表示出MN，用相似借助OC，用時間表示出PG，面積即可確定．

解答 解：（1）∵AC、BC的長分別是一元二次方程x²-14x+48=0的兩個根（AC＜BC）．
∴AC=6，BC=8，
∵∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10．
∵$\frac{1}{2}$•AC•BC=$\frac{1}{2}$•CO•AB，
∴CO=4.8，
∴點C坐標(biāo)（0，4.8），
設(shè)t秒后相遇，由題意（1+3）t=10，
∴t=2.5．
故答案分別為（0，4.8），=2.5．

（2）存在，如圖1中，

①當(dāng)BC為對角線時，∵OB=$\sqrt{B{C}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-4．{8}^{2}}$=6.4，OA=3.6，
∴點F坐標(biāo)（6.4，4.8）．
②當(dāng)BC為邊時，點E′在x軸上時，點F坐標(biāo)（2.8，-4.8）；點E″在y軸上時，E″（0，-$\frac{128}{15}$），F(xiàn)″（-6.4，-$\frac{56}{15}$）．
綜上所述點F坐標(biāo)為（6.4，4，8）或（2.8，-4.8）或（-6.4，-$\frac{56}{15}$）．

（3）①如圖2中，0＜t≤$\frac{7}{5}$時，

∵PG∥CO，
∴$\frac{PG}{CO}$=$\frac{BG}{OB}$，
∴PG=$\frac{3}{4}$（t+5），
∴S=$\frac{1}{2}$•PG•MN=$\frac{3}{8}$（t+5）（10-4t）=-$\frac{3}{2}$t²-$\frac{15}{4}$t+$\frac{75}{4}$．
②如圖3中，$\frac{7}{5}$＜t＜$\frac{5}{2}$時，

∵PG∥CO，
∴$\frac{PG}{CO}$=$\frac{AG}{AO}$，
∴PG=$\frac{4}{3}$（5-t），
∴S=$\frac{2}{3}$（5-t）（10-4t）=$\frac{8}{3}$t²-20t+$\frac{100}{3}$．

③如圖4中，$\frac{5}{2}$＜t≤$\frac{10}{3}$時，

S=$\frac{1}{2}$•MN•PG=$\frac{1}{2}$•（4t-10）•$\frac{4}{3}$（5-t）=-$\frac{8}{3}$t²+20t-$\frac{100}{3}$，
綜上所述S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}{t}^{2}-\frac{15}{4}t+\frac{75}{4}}&{（0＜t≤\frac{7}{5}）}\\{\frac{8}{3}{t}^{2}-20t+\frac{100}{3}}&{（\frac{7}{5}＜t＜\frac{5}{2}）}\\{-\frac{8}{3}{t}^{2}+20t-\frac{100}{3}}&{（\frac{5}{2}＜t≤\frac{10}{3}）}\end{array}\right.$．

點評 本題考查四邊形綜合題、矩形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識解決問題，學(xué)會分類討論，確定分段函數(shù)的自變量取值范圍是難點，需要畫好圖形結(jié)合圖形解決問題，屬于中考壓軸題．