Question

如圖（1），一正方形紙板ABCD的邊長為4，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，一塊等腰直角三角形的三角板的一個頂點(diǎn)處于點(diǎn)O處，兩邊分別與線段AB、AD交于點(diǎn)E、F，設(shè)BE=．

（1）若三角板的直角頂點(diǎn)處于點(diǎn)O處，如圖（2）．判斷三角形EOF的形狀，并說明理由。

（2）在（1）的條件下，若三角形EOF的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。

（3）若三角板的銳角頂點(diǎn)處于點(diǎn)O處，如圖（3）．

①若DF=，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

②探究直線EF與正方形ABCD的內(nèi)切圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

【答案】

（1）△EOF是等腰直角三角形，（2）S=x2-2x+4 (3)EF與正方形ABCD的內(nèi)切圓相切。

【解析】

試題分析：解：（1）∵正方形ABCD∴∠AOB=∠EOF=，BO=AO=OD，

∠OAF=∠OBE=∴∠AOF=∠BOE∴△AOF≌△BOE

∴OE=OF  ∴三角形EOF是等腰直角三角形。

（2）由△AOF≌△BOE得BE=AF，AE=FD=

∵∴

（3）①∵∠EOF=∠0BE= ∴∠FOD+∠EOB=∠BEO+∠EOB=

∴∠FOD=∠BEO，又∠EBO=∠ODF=∴△BOE∽△DFO

∴∴ 

（）

②連結(jié)EF

由①知△BOE∽△DFO

∴∵BO=DO

∴而∠EOF=∠0BE=

∴△EOF∽△EBO，∴∠FEO=∠0EB

∴點(diǎn)O到EF、BE的距離相等，而O到BE的距離即為正方形內(nèi)切

圓⊙O的半徑

∴直線EF與正方形的內(nèi)切圓相切

考點(diǎn)：正方形的定義及性質(zhì)，等腰三角形定義及性質(zhì)，勾股定理，相似三角形判定及性質(zhì)，切線的定義。

點(diǎn)評：熟知以上的定義性質(zhì)，定理。本題應(yīng)用的知識面很廣，對學(xué)生要求很高，要認(rèn)真的體會，把知識點(diǎn)很好的結(jié)合在一起，本題難度較大問多，屬于偏難題。