Question

（2013•拱墅區(qū)一模）如圖，已知拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，交x軸于點(diǎn)A，其頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，-

3

）．
（1）直接寫(xiě)出拋物線(xiàn)的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)Q，使△QAO與△AOB相似（不全等），求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，已知點(diǎn)M（0，

3

），連結(jié)QM并延長(zhǎng)交拋物線(xiàn)另一點(diǎn)R，在直線(xiàn)QR下方的拋物線(xiàn)上找點(diǎn)P，當(dāng)△PQR面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及S_△PQR的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，可得c=0，然后根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，及函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，-

3

）可得出函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可直接得出點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）點(diǎn)Q不與點(diǎn)B重合．先求出∠BOA的度數(shù)，然后可確定∠Q₁OA=的度數(shù)，繼而利用解直角三角形的知識(shí)求出x，得出Q₁的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)圖象函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可得出Q₂的坐標(biāo)．
（3）將M（0，

3

）、Q₁（9，3

3

）代入y=kx+b，得直線(xiàn)QR的解析式為y=

2 3

9

x+

3

，求與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)R：P點(diǎn)在直線(xiàn)QR下方且在拋物線(xiàn)上，故設(shè)P（x，

3

9

x2-

2 3

3

x），
如圖，過(guò)P作直線(xiàn)平行于y軸，交QR于點(diǎn)K，則K（x，

2 3

9

x+

3

），則S_△PQR=S_△QPK+S_△RPK=

1

2

PK（9-x+x+1）=-

5 3

9

(x-4)2+

125 3

9

，所以根據(jù)求二次函數(shù)最值的方法知當(dāng)x=4時(shí)，S_△PQR最大=

125 3

9

，則易求點(diǎn)P的坐標(biāo)．同理求得P₂（0，0），S_△PQR最大=3

3

．

解答：解：（1）由函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)得，函數(shù)解析式為y=ax²+bx（a≠0），
又∵函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為B（3，-

3

），
∴

- b 2a =3 9a-3b=- 3

，
解得，

a= 3 9 b=- 2 3 3

∴該函數(shù)解析式為：y=

3

9

x2-

2 3

3

x，
∴由二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)A與原點(diǎn)關(guān)于x=3對(duì)稱(chēng)，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0）；
綜上所述，拋物線(xiàn)的解析式為y=

3

9

x2-

2 3

3

x，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0）；

（2）過(guò)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，Rt△OCB中，tan∠OBC=

3

3

=

3

，
∴∠OBC=60°，
∴∠OBA=120°，△AOB是頂角為120°的等腰三角形，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，必與點(diǎn)B重合（舍去全等情況），
∴當(dāng)Q在x軸上方時(shí)，過(guò)Q作QD⊥x軸，
∵△QAO∽△AOB，
∴必有OA=AQ=6，且∠OAQ=120°，
∴∠QAD=60°，
∴AD=3，QD=3

3

，
∴Q（9，3

3

）．
∵Q（9，3

3

）滿(mǎn)足y=

3

9

x2-

2 3

3

x，
∴Q在拋物線(xiàn)上，
根據(jù)對(duì)稱(chēng)性Q₂（-3，  3

3

)也滿(mǎn)足條件，
∴符合條件的Q點(diǎn)有兩個(gè)：Q₁（9，3

3

）、Q₂（-3， 3

3

)；

（3）設(shè)直線(xiàn)QR的解析式為y=kx+b（k≠0）．
將M（0，

3

）、Q₁（9，3

3

）代入y=kx+b，得直線(xiàn)QR的解析式為y=

2 3

9

x+

3

，
令

2 3

9

x+

3

=

3

9

x2-

2 3

3

x
解得x₁=-1，x₂=9（即Q點(diǎn)舍去），
∴R（-1，

7 3

9

），
∵P點(diǎn)在直線(xiàn)QR下方且在拋物線(xiàn)上，故設(shè)P（x，

3

9

x2-

2 3

3

x）．
如圖，過(guò)P作直線(xiàn)平行于y軸，交QR于點(diǎn)K，則K（x，

2 3

9

x+

3

）
則S_△PQR=S_△QPK+S_△RPK=

1

2

PK（9-x+x+1）=

1

2

[

2 3

9

x+

3

-（

3

9

x2-

2 3

3

x）]×10
=-

5 3

9

(x-4)2+

125 3

9

當(dāng)x=4時(shí)，S_△PQR最大=

125 3

9

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，-

8 3

9

）．
同理過(guò)Q₂（-3，  3

3

)、M的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)R₂，在Q₂R₂下方拋物線(xiàn)取點(diǎn)P₂，
解得P₂（0，0），S_△PQR最大=3

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于二次函數(shù)的綜合題目，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積及一元二次方程的解，綜合性較強(qiáng)，需要我們仔細(xì)分析，分步解答．