Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．P為BC的中點，動點Q從點P出發(fā)，沿射線PC方向以2cm/s的速度運動，以P為圓心，PQ長為半徑作圓．設點Q運動的時間為t s．
（1）當t=1.2時，判斷直線AB與⊙P的位置關系，并說明理由；
（2）已知⊙O為△ABC的外接圓．若⊙P與⊙O相切，求t的值．

Answer 1

解：（1）直線AB與⊙P相切，
如圖，過P作PD⊥AB，垂足為D，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=10cm，
∵P為BC中點，
∴PB=4cm，
∵∠PDB=∠ACB=90°，
∠PBD=∠ABC，
∴△PBD∽△ABC，
∴，
即，
∴PD=2.4（cm），
當t=1.2時，PQ=2t=2.4（cm），
∴PD=PQ，即圓心P到直線AB的距離等于⊙P的半徑，
∴直線AB與⊙P相切；

（2）∵∠ACB=90°，
∴AB為△ABC的外接圓的直徑，
∴BO=AB=5cm，
連接OP，
∵P為BC中點，PO為△ABC的中位線，
∴PO=AC=3cm，
∵點P在⊙O內(nèi)部，
∴⊙P與⊙O只能內(nèi)切，
∴當⊙P在⊙O內(nèi)部時：5-2t=3，
當⊙O在⊙P內(nèi)部時2t-5=3，
∴t=1或4，
∴⊙P與⊙O相切時，t的值為1或4．
分析：（1）根據(jù)已知求出AB=10cm，進而得出△PBD∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)得出圓心P到直線AB的距離等于⊙P的半徑，即可得出直線AB與⊙P相切；
（2）根據(jù)BO=AB=5cm，得出⊙P與⊙O只能內(nèi)切，進而求出⊙P與⊙O相切時，t的值．
點評：此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定以及直線與圓的位置關系和圓與圓的位置關系，正確判定直線與圓的位置關系是重點知識同學們應重點復習．