Question

【題目】如圖1，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（1，0）、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸為直線x＝2，交拋物線于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E．

（1）請直接寫出：拋物線的函數(shù)解析式及點(diǎn)B、點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）拋物線對稱軸上的一動點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個單位的速度向上運(yùn)動，連接OP，BP，設(shè)運(yùn)動時間為t秒（t＞0）．在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，請求出：當(dāng)t為何值時，∠OPB＝90°？

（3）如圖2，點(diǎn)Q在拋物線上運(yùn)動（點(diǎn)Q不與點(diǎn)A、B重合），當(dāng)△QBC的面積與△ABC的面積相等時，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+4x﹣3；B（3，0），D（2，1）；（2）t＝-1.

（3）（，）、（、）或（2，1）

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可得到拋物線的表達(dá)式，再結(jié)合題意即可得到點(diǎn)B、點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）假設(shè)t秒時，點(diǎn)P（2，1+t），由題意可得OP2＝4+（1+t）2，BP2＝1+（1+t）2，AB2＝9，根據(jù)勾股定理可得4+（1+t）2+1+（1+t）2＝9，計算即可得到答案．

（3）根據(jù)題意算出點(diǎn)Q與BC的距離，求出與BC平行且距離為此距離的平行線的直線方程，與二次函數(shù)聯(lián)立即可求解.

解：（1）拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（1，0），拋物線的對稱軸為直線x＝2，則點(diǎn)B（3，0），

拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），

即3a＝﹣3，解得：a＝﹣1，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+4x﹣3…①，

函數(shù)的對稱軸為：x＝2，則點(diǎn)D（2，1）；

（2）t秒時，點(diǎn)P（2，1+t），

則OP2＝4+（1+t）2，BP2＝1+（1+t）2，AB2＝9，

∵∠OPB＝90°，則4+（1+t）2+1+（1+t）2＝9，

解得：t＝-1（負(fù)值已舍去）．

（3）如下圖，過點(diǎn)A作BC的平行線交拋物線于點(diǎn)Q、交y軸于點(diǎn)K，

則△QBC的面積與△ABC的面積相等，過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，過點(diǎn)K作KH⊥BC于點(diǎn)H，則AG＝KH，

直線BC的傾斜角為45°，則AG＝AB＝＝KH，

則KC＝2，故點(diǎn)K（﹣1，0），[來源:.Com]

則直線AQ的函數(shù)表達(dá)式為：y＝x﹣1…②，

聯(lián)立①②并解得：x＝1或2（舍去1），

故點(diǎn)Q（2，1）；

在BC的下方與AQ等距離位置作BC的拋物線交拋物線于點(diǎn)Q′、Q″，

同理可得直線Q′Q″的表達(dá)式為：y＝x﹣5…③，

聯(lián)立①③并解得：x＝，

故點(diǎn)Q（Q′、Q″）的坐標(biāo)為：（，）、（、）；

綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（，）、（、）或（2，1）．