Question

定義：到凸四邊形一組對邊距離相等，到另一組對邊距離也相等的點叫凸四邊形的準內(nèi)點．如圖1，PH=PJ，PI=PG，則點P就是四邊形ABCD的準內(nèi)點．



（1）如圖2，∠AFD與∠DEC的角平分線FP，EP相交于點P．求證：點P是四邊形ABCD的準內(nèi)點．
（2）分別畫出圖3平行四邊形和圖4梯形的準內(nèi)點．（作圖工具不限，不寫作法，但要有必要的說明）
（3）判斷下列命題的真假，在括號內(nèi)填“真”或“假”．
①任意凸四邊形一定存在準內(nèi)點．（______）
②任意凸四邊形一定只有一個準內(nèi)點．（______）
③若P是任意凸四邊形ABCD的準內(nèi)點，則PA+PB=PC+PD或PA+PC=PB+PD．（______）

Answer 1

（1）如圖2，過點P作PG⊥AB，PH⊥BC，PI⊥CD，PJ⊥AD
∵EP平分∠DEC
∴PJ=PH．（3分）
同理PG=PI．（1分）
∴P是四邊形ABCD的準內(nèi)點．（1分）

（2）


（4分）
平行四邊形對角線AC，BD的交點P₁就是準內(nèi)點，如圖3（1）．
或者取平行四邊形兩對邊中點連線的交點P₁就是準內(nèi)點，如圖3（2）；
梯形兩腰夾角的平分線與梯形中位線的交點P₂就是準內(nèi)點．如圖4．

（3）真；真；假．