Question

【題目】如圖，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=，BO=1，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交射線BO于點(diǎn)F，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AO以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿OB方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）①當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥AB；②當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥EF；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在O的左側(cè)時(shí)，記四邊形PFEQ的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，若P、Q關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)分別為P′、Q′，當(dāng)線段P′Q′，與線段EF有公共點(diǎn)時(shí)，拋物線y=ax2+1經(jīng)過P′Q′的中點(diǎn)，此時(shí)的拋物線與x正半軸交于點(diǎn)M；

①求a的取值范圍；

②求點(diǎn)M移動(dòng)的運(yùn)動(dòng)速度．

Answer 1

【答案】（1）①當(dāng)t=時(shí)，PQ∥AB；②當(dāng)t=時(shí)，PQ∥E

（2）S=t2+t﹣；

（3）①﹣16≤a≤﹣2

②單位長(zhǎng)度/秒

【解析】

試題分析：（1）由△OPQ∽△OAB，得列出方程即可解決問題．

（2）過點(diǎn)E作EG⊥BF，根據(jù)S=QF×EG+QF×OP=QF（EG+OP）計(jì)算即可．

（3）①由圖象3，可知，≤t≤1時(shí)，線段P′Q′，與線段EF有公共點(diǎn)，分別求出t=，t=1時(shí)a的值即可解決問題．

②分別求出a=﹣16，a=﹣2時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)即可解決問題．

試題解析：（1）如圖1中，①∵PQ∥AB，

∴△OPQ∽△OAB，

∴，

∵AP=2t，OQ=t，OA=，BO=1，

∴，

∴t=，

∴當(dāng)t=時(shí)，PQ∥AB；

②∵PQ∥EF，

∴∠QPO=∠ENA，

∵∠AEN=∠QOP=90°，

∴△ANE∽△QOP，

∵∠AOB=90°，

∴tanA==，

∴∠A=∠PQO=30°，

∴=，

∴t=，

∴當(dāng)t=時(shí)，PQ∥EF；

（2）如圖2中，過點(diǎn)E作EG⊥BF，

∵∠BAO=30°，

∴∠OBA=90°﹣∠BAO=60°，

∵BG=1﹣t，

∵EF為AB的垂直平分線，

∴BE=1，DF=1，

在Rt△BEA中，∠BEG=60°，BE=1，

∴EG=，

∴S=QF×EG+QF×OP=QF（EG+OP）=t2+t﹣；

（3）如圖3中，①設(shè)EF與x軸交于點(diǎn)G．

在RT△AEG中，∵∠AEG=90°，AE=1，∠EAG=30°，

∴cos∠EAG=，

∴AG=，OG=，

當(dāng)P′1與點(diǎn)G重合時(shí)，t=（+）÷2=，

由圖象可知，≤t≤1時(shí)，線段P′Q′，與線段EF有公共點(diǎn)，

當(dāng)t=時(shí)，P′1Q′1的中點(diǎn)坐標(biāo)（，﹣），代入y=ax2+1得到，a=﹣16，

當(dāng)t=1時(shí)，P′2Q′2的中點(diǎn)坐標(biāo)（，﹣），代入y=ax2+1得到，a=﹣2，

∴﹣16≤a≤﹣2．

②當(dāng)a=﹣16時(shí)，拋物線y=﹣16x2+1，與正半軸交于點(diǎn)M（，0），

當(dāng)a=﹣2時(shí)，拋物線y=﹣2x2+1，與正半軸交于點(diǎn)M（，0），

∴點(diǎn)M移動(dòng)的運(yùn)動(dòng)速度==單位長(zhǎng)度/秒．