Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+6（a≠0）交x軸于A（﹣4，0），B（2，0），在y軸上有一點E（0，﹣2），連接AE．

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）點D是第二象限內(nèi)的拋物線上一動點．

①求△ADE面積最大值并寫出此時點D的坐標；

②若tan∠AED＝，求此時點D坐標；

（3）連接AC，點P是線段CA上的動點，連接OP，把線段PO繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°至PQ，點Q是點O的對應點．當動點P從點C運動到點A，則動點Q所經(jīng)過的路徑長等于　 （直接寫出答案）．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+6；（2）①當m＝﹣時，S△ADE的面積最大，最大值為；點D點坐標為（，）；②D（，）；（3）2．

【解析】

（1）把點A（﹣4，0），B（2，0）代入y＝ax2+bx+6的解析式即可得解；

（2）①由A、E兩點坐標得出直線AE解析式，設點D坐標為（m，﹣m2﹣m+6，過點D作DK⊥y軸交于點K，然后構建S△ADE面積與m的二次函數(shù)，即可得出△ADE面積最大值和點D的坐標；

②過點A作AN⊥DE，DE與x軸交于點F，通過證明Rt△AFN∽Rt△EFO，得出，得到點F的坐標，進而得出直線EF的解析式，聯(lián)立直線和二次函數(shù)，得出點D的坐標即可；

（3）根據(jù)題意，當P點在A點時，（﹣4，﹣4），當P點在C點時，Q（﹣6，6），動點Q所經(jīng)過的路徑是線段Q，求出兩點之間的距離即可得解．

（1）將A（﹣4，0），B（2，0）代入y＝ax2+bx+6（a≠0），

，

可得，

∴y＝﹣x2﹣x+6，

故答案為：y＝﹣x2﹣x+6；

（2）①∵A（﹣4，0），E（0，﹣2），

設D（m，﹣m2﹣m+6），

過點D作DK⊥y軸交于點K，

K（0，﹣m2﹣m+6），

S△ADE＝S梯形DKOA+S△AOE﹣S△KED

＝×（KD+AO）×OK+×AO×OE﹣×KD×KE

＝（﹣m+4）×（﹣m2﹣m+6）+×4×2﹣×（﹣m）×（2﹣m2﹣m+6）

＝﹣（m+）2+，

當m＝﹣時，S△ADE的面積最大，最大值為，點D點坐標為（，），

故答案為： ；（，）；

②過點A作AN⊥DE，DE與x軸交于點F，

∵tan∠AED＝，

∴AN＝，NE＝3，

Rt△AFN∽Rt△EFO，

∴，

∵EF2＝OF2+4，

∴NF＝3﹣EF，

∴＝，

∴OF＝2，

∴F（﹣2，0），

∴EF直線解析式為y＝﹣x﹣2，

∴﹣x﹣2＝﹣x2﹣x+6時，x＝，

∴D（，），

故答案為：D（，）；

（3）∵Q點隨P點運動而運動，P點在線段AC上運動，

∴Q點的運動軌跡是線段，

當P點在A點時，（﹣4，﹣4），

當P點在C點時，Q（﹣6，6），

∴Q點的軌跡長為Q==2，

故答案為：2．