Question

如圖，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，點P為射線CA上的一個動點，以P為圓心，1為半徑作⊙P．
（1）連接PB，若PA=PB，試判斷⊙P與直線AB的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）當(dāng)PC為______時，⊙P與直線AB相切？當(dāng)⊙P與直線AB相交時，寫出PC的取值范圍為______；
（3）當(dāng)⊙P與直線AB相交于點M，N時，是否存在△PMN為正三角形？若存在，求出PC的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖1，過點P作PD⊥AB于點D，
∵PA=PB，∴AD=BD，
在Rt△ACB中，AC=4，BC=2，
∴AB=，∴AD=，
∵tan∠CAB=，∴PD=＞1，
∴⊙P與直線AB相離；               

（2）如圖2，當(dāng)⊙P與直線AB相切于點M，連接PM，
則PM⊥AB，
∵∠CAB=∠CAB，∠AMP=∠C=90°，
∴△APM∽△ABC，
∴=，
∵AB=2，
∴=，
解得：PC=4-，
當(dāng)⊙P′在線段CA的延長線上與直線AB相切于點N，連接PN，
則PN⊥AB，
∵∠NAP′=∠CAB，∠ANP′=∠C=90°，
∴△AP′N∽△ABC，
∴=，
∵AC=4，BC=2，
∴AB==2，
∴=，
解得：P′C=4+，
故當(dāng)PC為4±時，⊙P與直線AB相切，
則當(dāng)⊙P與直線AB相交時，寫出PC的取值范圍為＜PC＜；
故答案為：4±，＜PC＜；   

（3）如圖3，當(dāng)⊙P和線段AB相交時，過點P作PH⊥AB于點H，
∵△PMN為正三角形，即△PMN是邊長為1的三角形；
∵cos30°==，
∴，
∵sin∠CAB=，
∴PA=，
∴PC=4-；
當(dāng)⊙P交在BA的延長線部分時，
過點P′作P′H′⊥AB于點H′，
∵△P′M′N′為正三角形，即△P′M′N′是邊長為1的三角形；
∵cos30°==，
∴P′H′=，
∵sin∠CAB=sin∠P′AH′==，
∴P′A=，
P′C=4+．
綜上所述，PC=4-或 PC=4+．
分析：（1）首先利用等腰三角形的性質(zhì)得出AD=BD，再利用勾股定理得出AB的長，進而得出PD的長，即可得出⊙P與直線AB的位置關(guān)系；
（2）分別利用當(dāng)⊙P與直線AB相切于點M，以及當(dāng)⊙P′在線段CA的延長線上與直線AB相切于點N，利用相似三角形的性質(zhì)得出PC的長即可，進而得出當(dāng)⊙P與直線AB相交時，PC的取值范圍；
（3）當(dāng)△PMN為正三角形，即△PMN是邊長為1的三角形，利用cos30°=，求出PH的長，進而得出PA，PC的長，同理可得出當(dāng)⊙P交在BA的延長線部分時，PC的長．
點評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及銳角三角函數(shù)的應(yīng)用和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)數(shù)形結(jié)合進行分類討論得出是解題關(guān)鍵．