Question

如圖1，2，四邊形ABCD是正方形，M是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且直角頂點(diǎn)E在AB邊上滑動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合），另一條直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點(diǎn)F．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊的中點(diǎn)，N為AD邊的中點(diǎn)位置時(shí)：
①通過(guò)測(cè)量DE，EF的長(zhǎng)度，猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是______；
②請(qǐng)證明你的上述猜想．
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上的任意位置時(shí)，猜想此時(shí)DE與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圖形可以得到DE=EF，NE=BF，要證明這兩個(gè)關(guān)系，只要證明△DNE≌△EBF即可．
（2）連接NE，在DA邊上截取DN=EB，證出△DNE≌△EBF即可得出答案．
解答：解：（1）①DE=EF；
②證明：∵四邊形ABCD是正方形，N，E分別為AD，AB的中點(diǎn)，
∴DN=EB=AN=AE，
∴△AEN為等腰直角三角形，
∴∠ANE=45°，
∴∠DNE=180°-45°=135°，
∵BF平分∠CBM，AN=AE，
∴∠EBF=90°+45°=135°，
∴∠DNE=∠EBF，
∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，
∴∠NDE=∠BEF，
∴△DNE≌△EBF，
∴DE=EF；

（2）DE=EF，
證明：連接NE，在DA邊上截取DN=EB，
∵四邊形ABCD是正方形，DN=EB，
∴AN=AE，
∴△AEN為等腰直角三角形，
∴∠ANE=45°，
∴∠DNE=180°-45°=135°，
∵BF平分∠CBM，AN=AE，
∴∠EBF=90°+45°=135°，
∴∠DNE=∠EBF，
∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，
∴∠NDE=∠BEF，
∴△DNE≌△EBF，
∴DE=EF．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵就是求證△DNE≌△EBF．