Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．點P是AB邊上任意一點，直線PE⊥AB，與邊AC或BC相交于E．點M在線段AP上，點N在線段BP上，EM=EN，．
（1）如圖1，當點E與點C重合時，求CM的長；
（2）如圖2，當點E在邊AC上時，點E不與點A、C重合，設AP=x，BN=y，求y關于x的函數關系式，并寫出函數的定義域；
（3）若△AME∽△ENB（△AME的頂點A、M、E分別與△ENB的頂點E、N、B對應），求AP的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題需先根據已知條件得出AC的值，再根據CP⊥AB求出CP，從而得出CM的值．
（2）本題需先根據EN，設出EP的值，從而得出EM和PM的值，再得出△AEP∽△ABC，即可求出=，求出a的值，即可得出y關于x的函數關系式，并且能求出函數的定義域．
（3）本題需先設EP的值，得出則EM和MP的值，然后分①點E在AC上時，根據△AEP∽△ABC，求出AP的值，從而得出AM和BN的值，再根據△AME∽△ENB，求出a的值，得出AP的長；②點E在BC上時，根據△EBP∽△ABCC，求出AP的值，從而得出AM和BN的值，再根據△AME∽△ENB，求出a的值，得出AP的長．
解答：解：
（1）∵∠ACB=90°，
∴AC=，
=，
=40，
∵CP⊥AB，
∴=，
∴=，
∴CP=24，
∴CM=，
=，
=26；

（2）∵，

∴設EP=12a，
則EM=13a，PM=5a，
∵EM=EN，
∴EN=13a，PN=5a，
∵△AEP∽△ABC，
∴=，
∴，
∴x=16a，
∴a=，
∴BP=50-16a，
∴y=50-21a，
=50-21×，
=50-x，
∵當E點與A點重合時，x=0．當E點與C點重合時，x=32．
∴函數的定義域是：（0＜x＜32）；
（3）
①當點E在AC上時，如圖2，設EP=12a，則EM=13a，MP=NP=5a，
∵△AEP∽△ABC，
∴，
∴，
∴AP=16a，
∴AM=11a，
∴BN=50-16a-5a=50-21a，
∵△AME∽△ENB，
∴，
∴=，
∴a=，
∴AP=16×=22，

②當點E在BC上時，如圖（備用圖），設EP=12a，則EM=13a，MP=NP=5a，
∵△EBP∽△ABC，
∴=，
即=，
解得BP=9a，
∴BN=9a-5a=4a，AM=50-9a-5a=50-14a，
∵△AME∽△ENB，
∴，
即=，
解得a=，
∴AP=50-9a=50-9×=42．
所以AP的長為：22或42．
點評：本題主要考查了相似三角形、勾股定理、解直角三角形的判定和性質，在解題時要注意知識的綜合應是解本題的關鍵．