【答案】
分析:(1)將A(-1,0)、B(5,0)分別代入y=-x
2+bx+c中即可確定b、c的值,然后配方后即可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)連接BC,交對(duì)稱軸于點(diǎn)P,連接AP、AC.求得C點(diǎn)的坐標(biāo)后然后確定直線BC的解析式,最后求得其與x=1與直線BC的交點(diǎn)坐標(biāo)即為點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)①設(shè)D(t,-t
2+4t+5),設(shè)折線D-E-O的長(zhǎng)度為L(zhǎng),求得L的最大值后與當(dāng)點(diǎn)D與Q重合時(shí)
相比較即可得到答案;
②假設(shè)四邊形DCEB為平行四邊形,則可得到EF=DF,CF=BF.然后根據(jù)DE∥y軸求得DF,得到DF>EF,這與EF=DF相矛盾,從而否定是平行四邊形.
解答:解:(1)將A(-1,0)、B(5,0)分別代入y=-x
2+bx+c中,
得
,得
∴y=-x
2+4x+5.
∵y=-x
2+4x+5=-(x-2)
2+9,∴Q(2,9).
(2)如圖1,連接BC,交對(duì)稱軸于點(diǎn)P,連接AP、AC.
∵AC長(zhǎng)為定值,∴要使△PAC的周長(zhǎng)最小,只需PA+PC最小.
∵點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸x=1的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)B(5,0),拋物線y=-x
2+4x+5與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,5).
∴由幾何知識(shí)可知,PA+PC=PB+PC為最�。�
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+5,將B(5,0)代入5k+5=0,得k=-1,
∴y=-x+5,∴當(dāng)x=2時(shí),y=3,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3).
(3)①這個(gè)同學(xué)的說(shuō)法不正確.
∵設(shè)D(t,-t
2+4t+5),設(shè)折線D-E-O的長(zhǎng)度為L(zhǎng),則
,
∵a<0,∴當(dāng)
時(shí),
.
而當(dāng)點(diǎn)D與Q重合時(shí),
,
∴該該同學(xué)的說(shuō)法不正確.
②四邊形DCEB不能為平行四邊形.
如圖2,若四邊形DCEB為平行四邊形,則EF=DF,CF=BF.
∵DE∥y軸,∴
,即OE=BE=2.5.
當(dāng)x
F=2.5時(shí),y
F=-2.5+5=2.5,即EF=2.5;
當(dāng)x
D=2.5時(shí),
,即DE=8.75.
∴DF=DE-EF=8.75-2.5=6.25>2.5.即DF>EF,這與EF=DF相矛盾,
∴四邊形DCEB不能為平行四邊形.
點(diǎn)評(píng):本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí),其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)的確定方法及有關(guān)的幾何知識(shí).在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果.