Question

在銳角△ABC中，AB=AC，∠A使關(guān)于x的方程x²-sinA•x+sinA-=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）設(shè)D為BC上的一點(diǎn)，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DE=m，DF=n，且3m=4n和m²+n²=25，求AB的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用根的判別式求出sinA=，進(jìn)而得出∠A=60°，再利用AB=AC，求出△ABC的形狀．
（2）根據(jù)題意可得出∠BDE=∠CDF=30°，再由銳角三角函數(shù)關(guān)系可得出BD，CD，從而求出BC進(jìn)而得出AB的長．
解答：解：（1）∵關(guān)于x的方程x²-sinA•x+sinA-=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴b²-4ac=sin²A-4×（sinA-）=0，
則（sinA-）²=0，
故sinA-=0，
即sinA=，
解得：∠A=60°，
又∵AB=AC，
∴△ABC的形狀為等邊三角形；

（2）解：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠BED=∠CFD=90°，∴∠EDB=∠FDC=30°，
∵DE=m，DF=n，且3m=4n和m²+n²=25，
∴m=，
∴（）²+n²=25，
解得：n=3，則m=4，
∴DE=4，DF=3，
∵cos30°=，
∴BD===，
∵cos30°=，
∴CD==2，
∴BC=+2=，
則AB的長為．
點(diǎn)評：此題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定以及一元二次方程根的判別式、銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求出BD，CD的長．