Question

已知：拋物線y=x²-（m+1）x+m與x軸交于點A（x₁，0）、B（x₂，0）（A在B的左側(cè)），與y軸交于點C．
（1）若m＞1，△ABC的面積為6，求拋物線的解析式；
（2）點D在x軸下方，是（1）中的拋物線上的一個動點，且在該拋物線對稱軸的左側(cè)，作DE∥x軸與拋物線交于另一點E，作DF⊥x軸于F，作EG⊥x軸于點G，求矩形DEGF周長的最大值；
（3）若m＜0，以AB為一邊在x軸上方做菱形ABMN（∠NAB為銳角），P是AB邊的中點，Q是對角線AM上一點，若，QB+PQ=6，當菱形ABMN的面積最大時，求點A的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線y=x²-（m+1）x+m與x軸交于點A（x₁，0）、B（x₂，0），得出x²-（m+1）x+m=0的解，再利用m＞1，△ABC的面積為6，即△ABC的面積S==，求出m，從而得出解析式；
（2）作出矩形，用t表示出矩形的周長，利用二次函數(shù)的最值求出即可；
（3）首先表示出AB的長度，再利用=，QB+PQ=6，得出S_菱形ABMN=AB•NH=15k²≤48，當菱形面積取得最大值48時，k=，由AB=5k=1-m=．解出m的值，得出A點坐標．
解答：解：（1）∵拋物線與x軸交于點A（x₁，0）、B（x₂，0），
∴x₁、x₂是關(guān)于x的方程x²-（m+1）x+m=0的解．
解方程，得x=1或x=m．
（1）∵A在B的左側(cè)，m＞1，
∴x₁=1，x₂=m．
∴AB=m-1．
拋物線與y軸交于C（0，m）點．
∴OC=m．
△ABC的面積S==．
解得m₁=4，m₂=-3（不合題意，舍去）．
∴拋物線解析式為y=x²-5x+4；

（2）∵點D在（1）中的拋物線上，
∴設(shè)D（t，t²-5t+4）（）．
∴F（t，0），DF=-t²+5t-4．
又拋物線對稱軸是直線，DE與拋物線對稱軸交點記為R（如圖），
∴DR=，DE=5-2t．
設(shè)矩形DEGF的周長為L，則L=2（DF+DE）．
∴L=2（-t²+5t-4+5-2t）
=-2t²+6t+2
=．
∵，
∴當且僅當時，L有最大值．
當時，L_最大=．
∴矩形周長的最大值為．

（3）∵A在B的左側(cè)，m＜0，
∴x₁=m，x₂=1．
∴AB=1-m．
如圖，作NH⊥AB于H，連接QN．
在Rt△AHN中，=．
設(shè)AH=4k（k＞0），則AN=5k，NH=3k．
∴AP===，PH=AH-AP==，PN==．
∵菱形ABMN是軸對稱圖形，
∴QN=QB．
∴PQ+QN=PQ+QB=6．
∵PQ+QN≥PN（當且僅當P、Q、N三點共線時，等號成立）．
∴6≥，
解得k≤．
∵S_菱形ABMN=AB•NH=15k²≤48．
∴當菱形面積取得最大值48時，k=．
此時AB=5k=1-m=．
解得m=1-．
∴A點的坐標為（1-，0）．
點評：此題主要考查了一元二次方程的解法，以及二次函數(shù)的最值問題，銳角三角函數(shù)問題和矩形菱形等知識，題目綜合性較強．