Question

【題目】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和⊙C，給出如下定義：連接PC交⊙C于點(diǎn)N，若點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q在⊙C的內(nèi)部，則稱(chēng)點(diǎn)P是⊙C的外稱(chēng)點(diǎn)．

（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，

①在點(diǎn)D（﹣1，﹣1），E（2，0），F（0，4）中，⊙O的外稱(chēng)點(diǎn)是　 　；

②若點(diǎn)M（m，n）為⊙O的外稱(chēng)點(diǎn)，且線(xiàn)段MO交⊙O于點(diǎn)G，求m的取值范圍；

（2）直線(xiàn)y＝﹣x+b過(guò)點(diǎn)A（1，1），與x軸交于點(diǎn)B．⊙T的圓心為T（t，0），半徑為1．若線(xiàn)段AB上的所有點(diǎn)都是⊙T的外稱(chēng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①D，E；②＜m＜；（2）﹣1＜t＜2﹣或3＜t＜1+2．

【解析】

（1）①根據(jù)⊙O的外應(yīng)點(diǎn)的定義，畫(huà)出圖形即可判斷；

②作射線(xiàn)GO，交⊙O于點(diǎn)H（﹣，﹣），作點(diǎn)H關(guān)于點(diǎn)G的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H'（，），由點(diǎn)M為⊙O的外應(yīng)點(diǎn)，推出點(diǎn)M在線(xiàn)段GH'上（不與G，H'重合），由此即可解決問(wèn)題；

（2）求出四種特殊位置t的值即可判斷.

（1）①如圖1中，

根據(jù)點(diǎn)P是⊙O的外應(yīng)點(diǎn)定義，觀察圖象可知，⊙O的外應(yīng)點(diǎn)是D，E．

故答案為D，E．

②如圖2中，作射線(xiàn)GO，交⊙O于點(diǎn)H（﹣，﹣），

作點(diǎn)H關(guān)于點(diǎn)G的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H'（，），

∵點(diǎn)M為⊙O的外應(yīng)點(diǎn)，

∴點(diǎn)M在線(xiàn)段GH'上（不與G，H'重合）．

∴＜m＜．

（2）由題意A（1，1），∵直線(xiàn)y＝﹣x+b過(guò)點(diǎn)A（1，1），

∴b＝2，可得B（2，0）

如圖3中，當(dāng)半徑為3的⊙T經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，T（﹣1，0）

如圖4中，當(dāng)半徑為1的⊙T與AB相切于F時(shí)，易知TF＝FB＝1，TB＝，

∴OT＝2﹣，

∴T（2﹣，0）

觀察圖象可知：當(dāng)﹣1＜t＜2﹣時(shí)，線(xiàn)段AB上的所有點(diǎn)都是⊙T的外應(yīng)點(diǎn)；

如圖5中，當(dāng)半徑為1的⊙T經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，T（3，0），

如圖6中，當(dāng)半徑為3的⊙T經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，易知T（1+2，0）

觀察圖象可知：當(dāng)3＜t＜1+2時(shí)，線(xiàn)段AB上的所有點(diǎn)都是⊙T的外應(yīng)點(diǎn)，

綜上所述，滿(mǎn)足條件的t的值為：﹣1＜t＜2﹣或3＜t＜1+2．