Question

(滿分l4分)已知：拋物線y=x²-(a+2)x+9的頂點在坐標軸上．
(1)求a的值；
(2)若該拋物線的頂點C在x軸的正半軸上，而此拋物線與直線Y=x+9交于A，B兩點，且A點在B點左側，P為線段AB上的點(A，B兩端點除外)．過點P作x軸的垂線與拋物線交于點Q(可在圖中畫示意圖)．問：

①線段AB上是否存在這樣的點P，使得PQ的長等于6?若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
②線段AB上是否存在這樣的點P，使得△ABQ∽△OAC?若存在，請求出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1)解：若拋物線y=x²-(a+2)x+9的頂點在y軸上，得a=2；       ……2分
若拋物線y=x² –(a+2)x+9的頂點在x軸上，由△=0，得a=4或a=-8． ……4分
(2)根據(jù)題意得a=4，此時拋物線為y= x²—6x+9．                    ……5分
y=x+9．
解   
y=x²-6x+9
      x₁=0，        x₂=7
得   
y₁=9，        y₂=16．
所以A(0，9)，B(7，16)．                                            ……7分
①由于點P在直線y=x+9上，因此設符合題意的點P的坐標為(t，t+9)，此時對應的點Q的坐標為(t，t²-6t+9)，                                              ……9分
由題意得PQ=(t+9)-(t²-6t+9)=6，
解得t-l或6．                                                      ……11分
由題意0<t<7，點P的坐標為(1，10)或(6，15)．                        ……12分
②設在線段AB上存在這樣的點P，使得△ABQ∽△0AC，
∵∠BAQ=∠AOC=90°，分別過B，Q兩點向Y軸作垂線，垂足為E，H，
由∠BAQ=90°，注意到直線y=x+9與x軸所夾的銳角為45°，
由QH=AH可求得點Q的坐標為(5，4)，但顯然AB:AQ≠OA:OC，
∴△ABQ與△OAC不可能相似，                                        ……l3分
∴線段AB上不存在符合條件的點P．                                    ……14分解析:
略