Question

如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，I是內心，⊙I與AB、BC、AC分別相切于點D、E、F．求△ABC的內切圓半徑r．

Answer 1

答案：
解析：

分析一：由于∠IEC＝∠IFC＝∠C＝90°，IE＝IF，所以四邊形IECF是正方形，這個正方形的邊長等于內切圓半徑r．我們可以用這個結論來解題． 　　解法一：連接ID、IE、IF．設AD＝x，BD＝y，CE＝z， 　　則得方程組 　　解這個方程組，得z＝(a＋b－c)． 　　由題意，知∠IEC＝∠IFC＝∠C＝90°，IE＝IF，所以四邊形IECF是正方形，所以z＝r． 　　所以內切圓半徑r＝(a＋b－c)． 　　分析二：運用等積變換來求解． 　　解法二：連接AI、BI、CI(如題圖)． 　　因為S△ABC＝S△ABI＋S△BCI＋S△ACI，而S△ABC＝ab，S△ABI＝cr，S△BCI＝ar，S△ACI＝br，所以ab＝cr＋ar＋br．所以r＝． 　　注：將一個圖形分割為幾個圖形，則這幾個圖形面積的和等于原圖形的面積，這是等積變換的基本關系之一．