Question

已知：如圖⊙O是以等腰三角形ABC的底邊BC為直徑的外接圓，BD平分∠ABC交⊙O于D，且BD與OA、
AC分別交于點E、F延長BA、CD交于G．
（1）試證明：BF=CG．
（2）線段CD與BF有什么數(shù)量關系？為什么？
（3）試比較線段CD與BE的大小關系，并說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵⊙O是以等腰三角形ABC的底邊BC為直徑的外接圓，
∴AB=AC，∠BAC=90°，∠ABD=∠DCA，
∴，
∴△ABF≌△ACG，（AAS）
∴BF=CG；

（2）線段2CD=BF，
證明：∵BD平分∠ABC交⊙O于D，
∴∠GBD=∠CBD，
∵BC為直徑，
∴∠BDC=90°，
∴，
∴△BDG≌△BDC，（AAS）
∴GD=CD，
∵BF=CG；
∴=，
即=，
∴2CD=BF；
（3）證明：連接EC，
∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，
且BO=CO，
∴AO⊥BC（等腰三角形三線合一），
∴BE=EC，
∵∠EDC=90°，在△EDC中所對斜邊為EC，
∴EC＞CD（直角三角形中斜邊大與直角邊長），
∴BE＞CD．
分析：（1）根據(jù)圓周角定理以及全等三角形的判定得出△ABF≌△ACG即可求出答案；
（2）利用角平分線的性質(zhì)以及圓周角定理得出△BDG≌△BDC，進而得出GD=CD，求出=，即可得出答案；
（3）利用等腰三角形的性質(zhì)得出BE=EC，再利用直角三角形邊之間大小關系求出即可．
點評：此題主要考查了圓周角定理以及全等三角形的判定和等腰三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知連接EC利用等腰三角形的性質(zhì)得出是解題關鍵．