Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，D為⊙O上的一點(diǎn)，CD=CB，延長CD交BA的延長線于點(diǎn)E．

（1）求證：CD為⊙O的切線；

（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）

Answer 1

考點(diǎn)：

切線的判定與性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算．

分析：

（1）首先連接OD，由BC是⊙O的切線，可得∠ABC=90°，又由CD=CB，OB=OD，易證得∠ODC=∠ABC=90°，即可證得CD為⊙O的切線；

（2）在Rt△OBF中，∠ABD=30°，OF=1，可求得BD的長，∠BOD的度數(shù)，又由S_陰影=S_扇形OBD﹣S_△BOD，即可求得答案．

解答：

（1）證明：連接OD，

∵BC是⊙O的切線，

∴∠ABC=90°，

∵CD=CB，

∴∠CBD=∠CDB，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∴∠ODC=∠ABC=90°，

即OD⊥CD，

∵點(diǎn)D在⊙O上，

∴CD為⊙O的切線；

（2）解：在Rt△OBF中，

∵∠ABD=30°，OF=1，

∴∠BOF=60°，OB=2，BF=，

∵OF⊥BD，

∴BD=2BF=2，∠BOD=2∠BOF=120°，

∴S_陰影=S_扇形OBD﹣S_△BOD=﹣×2×1=π﹣．

點(diǎn)評：

此題考查了切線的判定與性質(zhì)、垂徑定理以及扇形的面積．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．