Question

如圖，直線與兩坐標軸分別相交于A、B點，點M是線段AB上任意一點（A、B兩點除外），過M分別作MC⊥OA于點C，MD⊥OB于D．

       （1）當點M在AB上運動時，你認為四邊形OCMD的周長是否發(fā)生變化？并說明理由；

       （2）當點M運動到什么位置時，四邊形OCMD的面積有最大值？最大值是多少？

（3）當四邊形OCMD為正方形時，將四邊形OCMD沿著x軸的正方向移動，設平移的距離為，正方形OCMD與△AOB重疊部分的面積為S．試求S與的函數關系式并畫出該函數的圖象．

Answer 1

（1）設點M的橫坐標為x，則點M的縱坐標為－x+4（0<x<4，x>0，－x+4>0）；

　　　　　　 　 則：MC＝－x+4＝－x+4，MD＝x＝x；

　　　　　　　　　　 ∴C_{四邊形OCMD}＝2（MC+MD）＝2（－x+4+x）＝8

∴當點M在AB上運動時，四邊形OCMD的周長不發(fā)生變化，總是等于8；

（2）根據題意得：S_{四邊形OCMD}＝MC?MD＝（－x+4）? x＝－x²+4x＝－(x-2)²+4

∴四邊形OCMD的面積是關于點M的橫坐標x（0<x<4）的二次函數，并且當x＝2，即當點M運動到線段AB的中點時，四邊形OCMD的面積最大且最大面積為4；

（3）如圖（2），當時，；

如圖（3），當時，；

∴S與的函數的圖象如下圖所示：