Question

【題目】定義：若拋物線L2：y=mx2+nx（m≠0）與拋物線L1：y=ax2+bx（a≠0）的開口大小相同，方向相反，且拋物線L2經過L1的頂點，我們稱拋物線L2為L1的“友好拋物線”．

（1）若L1的表達式為y=x2﹣2x，求L1的“友好拋物線”的表達式；

（2）已知拋物線L2：y=mx2+nx為L1：y=ax2+bx的“友好拋物線”．求證：拋物線L1也是L2的“友好拋物線”；

（3）平面上有點P（1，0），Q（3，0），拋物線L2：y=mx2+nx為L1：y=ax2的“友好拋物線”，且拋物線L2的頂點在第一象限，縱坐標為2，當拋物線L2與線段PQ沒有公共點時，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2；（2）答案見解析；（3）0＜a＜或a＞8．

【解析】試題（1）設L1的“友好拋物線”的表達式為：y=﹣x2+bx，根據(jù)L1：y=x2﹣2x可得其頂點坐標，代入y=﹣x2+bx可得b的值，進而得出L1的“友好拋物線”；

（2）先求出拋物線L1和L2的頂點坐標，根據(jù)L2過L1 的頂點，得出bn=0，進而得到拋物線L1經過L2的頂點，再根據(jù)L2與L1的開口大小相同，方向相反，即可得出拋物線L1也是L2的“友好拋物線”；

（3）根據(jù)“友好拋物線”的定義，得到m=﹣a，進而得到L2的頂點為（，）．根據(jù)拋物線L2的頂點在第一象限，縱坐標為2，可得a=n2＞0．再根據(jù)L2經過點P（1，0），得到a=8．根據(jù)L2經過點Q（3，0），得到a=．進而得出拋物線L2與線段PQ沒有公共點時，a的取值范圍．

試題解析：解：（1）依題意，可設L1的“友好拋物線”的表達式為：y=﹣x2+bx，∵L1：y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，∴L1的頂點為（1，﹣1），∵y=﹣x2+bx過點（1，﹣1），∴﹣1=﹣12+b，即b=0，∴L1的“友好拋物線”為：y=﹣x2．

（2）L2：y=mx2+nx的頂點為（，），L1：y=ax2+bx的頂點為（，），∵L2為L1 的“友好拋物線”，∴m=﹣a．

∵L2過L1 的頂點，∴=m×（）2+n×（）．

化簡得：bn=0．

把x=代入y=ax2+bx，得

y═a×（）2+b×（）==，∴拋物線L1經過L2的頂點．

又∵L2與L1的開口大小相同，方向相反，∴拋物線L1也是L2的“友好拋物線”．

（3）∵拋物線L2：y=mx2+nx為L1：y=ax2的“友好拋物線”，∴m=﹣a，∴L2：y=﹣ax2+nx的頂點為（，）．

∵拋物線L2的頂點在第一象限，縱坐標為2，∴=2，即a=n2＞0．

當L2經過點P（1，0）時，﹣a+n=0，∴a=8．

當L2經過點Q（3，0）時，﹣9a+3n=0，∴a=，∴拋物線L2與線段PQ沒有公共點時，0＜a＜或a＞8．