Question

【題目】閱讀材料：

如圖12-1，過(guò)銳角△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”(a)，中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長(zhǎng)度叫△ABC的“鉛垂高(h)”.我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.

解答下列問(wèn)題：

如圖12-2，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C(1，4)，交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B（0，3）.

(1)求拋物線解析式和線段AB的長(zhǎng)度；

(2)點(diǎn)P是拋物線(在第一象限內(nèi))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA，PB，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)C時(shí)，求△CAB的鉛垂高CD及；

(3)是否存在一點(diǎn)P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1)3;(2)CD=2,3;(3)見(jiàn)解析.

【解析】（1）已知拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，可設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為，然后把A點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出二次函數(shù)的解析式，繼而求出點(diǎn)B坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理即可求出AB的長(zhǎng)；

（2）求出直線AB的解析式，由C點(diǎn)的橫坐標(biāo)可求得D點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而可求得CD的長(zhǎng)，然后再根據(jù)題中給出的求三角形面積的求法進(jìn)行求解即可得；

（3）可先根據(jù)（2）中三角形CAB的面積得出三角形PAB的面積，三角形PAB中，水平寬是A的橫坐標(biāo)為定值，因此根據(jù)三角形PAB的面積可得出此時(shí)的鉛垂高，然后用拋物線的解析式以及一次函數(shù)的解析式，先表示出鉛垂高，然后根據(jù)由三角形PAB的面積求出的鉛垂高可得出關(guān)于x的方程，即可得出x的值，然后代入二次函數(shù)式中即可得出此點(diǎn)的坐標(biāo)．

(1)設(shè)拋物線的解析式為：，

把B（0，3）代入解析式求得，

所以，

由求得A點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，

所以OA=3，OB=3，所以AB=；

(2) 設(shè)直線AB的解析式為：，

把A（3，0），B（0，3）代入y2=kx+b中，得，

解得：k=-1，b=3，

所以y2=-x+3，

因?yàn)?/span>C點(diǎn)坐標(biāo)為(１，4)，

所以當(dāng)x＝１時(shí)，y1＝4，y2＝2，

所以CD＝4-2＝2，

(平方單位) ；

(3)假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，△PAB的鉛垂高為h，

則，

由S△PAB=S△CAB得：，

化簡(jiǎn)得：，

△=-36<0，

所以不存在這樣的P點(diǎn).