Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一點(diǎn)，過(guò)D分別向AB，AC引垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，CG是AB邊上的高．

（1）當(dāng)D點(diǎn)在BC的什么位置時(shí)，DE=DF？請(qǐng)說(shuō)明理由．

（2）DE，DF，CG的長(zhǎng)之間存在著怎樣的等量關(guān)系？并說(shuō)明理由.

（3）若D在底邊BC的延長(zhǎng)線上，（2）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，又存在怎樣的關(guān)系？并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)點(diǎn)D在BC的中點(diǎn)時(shí)，DE=DF，理由見(jiàn)解析；（2）DE+DF=CG．理由見(jiàn)解析；（3）當(dāng)點(diǎn)D在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，（2）中的結(jié)論不成立，但有DE﹣DF=CG．理由見(jiàn)解析.

【解析】分析：（1）當(dāng)點(diǎn)D在BC的中點(diǎn)時(shí)，DE=DF，根據(jù)AAS證△BED≌△CFD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可；
（2）連接AD，根據(jù)三角形ABC的面積=三角形ABD的面積+三角形ACD的面積，進(jìn)行分析證明；
（3）類(lèi)似（2）的思路，仍然用計(jì)算面積的方法來(lái)確定線段之間的關(guān)系．即三角形ABC的面積=三角形ABD的面積-三角形ACD的面積．

詳解：（1）當(dāng)點(diǎn)D在BC的中點(diǎn)時(shí)，DE=DF，理由如下：

∵D為BC中點(diǎn)，∴BD=CD，

∵AB=AC，∴∠B=∠C，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，

在△BED和△CFD中

∠B=∠C，∠DEB=∠DFC，BD=CD，

∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF．

（2）DE+DF=CG．

理由：連接AD，

則S△ABC=S△ABD+S△ACD，即ABCG=ABDE+ACDF，

∵AB=AC，∴CG=DE+DF．

（3）當(dāng)點(diǎn)D在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，（2）中的結(jié)論不成立，但有DE﹣DF=CG．

理由：連接AD，則S△ABD=S△ABC+S△ACD，即ABDE=ABCG+ACDF

∵AB=AC，∴DE=CG+DF，即DE﹣DF=CG．

同理當(dāng)D點(diǎn)在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，（2）中結(jié)論不成立，則有DE﹣DF=CG，說(shuō)明方法同上．