Question

如圖（1），在□ABCD中，P是CD邊上的一點，AP與BP分別平分∠DAB和∠CBA。

1.判斷△APB是什么三角形？證明你的結論；

2.比較DP與PC的大�。�

3.如圖（2）以AB為直徑作半圓O，交AD于點E，連結BE與AP交于點F，若AD=5cm，AP=8cm，求證△AEF∽△APB，并求tan∠AFE的值。

 

Answer 1

【答案】

 

1.△APB是直角三角形，理由如下：

∵ 在□ABCD中，AD∥BC，

∴ ∠DAB +∠ABC = 180°；

又∵AP與BP分別平分∠DAB和∠CBA，

∴∠PAB =，∠PBA =，

∴ ∠PAB+∠PBA=，

∴ △APB是直角三角形；

2.∵ DC∥AB，

∴∠BAP =∠DPA．

∵∠DAP =∠PAB，

∴∠DAP =∠DPA，

∴ DA = DP

同理證得CP=CB．

∴ DP = PC

3.∵AB是⊙O直徑，

∴∠AEB = 90°．

又（1）易知∠APB = 90°．

∴ ∠AEB =∠APB，

∵ AP為角平分線，即∠EAF=∠PAB，

∴ △AEF∽△APB，

由（2）可知DP = PC = AD，

∴ AB = DC = 2AD = 10cm，

在Rt△PAB中，（cm）

又△AEF∽△APB，

得∠AFE=∠ABP，

∴ tan∠AFE = tan∠ABP=。

【解析】

1.可通過角的度數來判斷三角形APB的形狀．由于ABCD是平行四邊形，AD∥BC，那么同旁內角∠DAB和∠CBA的和應該是180°，AP，BE平分∠DAB，∠ABP，于是∠PAB和∠ABP的和就應該是90°，即∠APB=90°，因此可得出三角形APB的形狀．

2.可通過平行和角平分線，通過等角對等邊得出DP=AP，同理可證出PC=BC，根據平行四邊形的性質，AD=BC，可得出DP=PC．

3.利用兩個角相等求出△AEF∽△APB，然后利用（2）求出PB的長度，在根據∠AFE=∠ABP，然后求出tan∠AFE的值.