Question

（2012•重慶模擬）如圖（1），四邊形OABC是菱形，邊長(zhǎng)為4，∠AOC=60°，垂直于OC的直線l從O點(diǎn)出發(fā)，沿射線OC向右以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，設(shè)直線l經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），t＞0．
（1）求出直線l經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)t的值；
（2）△OMN的面積為S，請(qǐng)直接寫(xiě)出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量t的取值范圍；
（3）直線l開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，如圖（2），P點(diǎn)從B點(diǎn)出發(fā)，沿著B(niǎo)C-CO向O點(diǎn)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，則是否存在l的值，使△PMN為等腰三角形？若存在，求出對(duì)應(yīng)的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由四邊形OABC是菱形可以得出OA=AB=BC=CO=4，由l⊥OC可以得出∠MNO=90°，而∠AOC=60°，就有∠OMN=30°，就有ON=

1

2

OM，從而就可以求出l經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)ON的長(zhǎng)度，由時(shí)間=路程÷速度就可以求出t值；
（2）是一個(gè)分段函數(shù)，根據(jù)三角形的面積公式當(dāng)0＜t≤2，2＜t≤4和4＜t＜6時(shí)分別表示出△OMN的面積即可；
（3）分情況討論當(dāng)0＜t≤2時(shí)，分三種情況，如圖6，圖7，圖8，分別求出t的值；當(dāng)2＜t≤

8

3

時(shí)，如圖9，MN=NP=2

3

＞2（舍去）；當(dāng)

8

3

＜t≤4時(shí)，如圖12，可以求出t的值，然后綜合得出t值的結(jié)論即可．

解答：解：（1）如圖11，∵四邊形OABC是菱形，
∴OA=AB=BC=CO=4．
∵l⊥OC，
∴∠MNO=90°．
∵∠AOC=60°，
∴∠OMN=30°，
∴ON═

1

2

OA，
∴ON=2，
∴t=2÷1=2；

（2）由題意，得
當(dāng)0＜t≤2時(shí)，如圖1，
∵ON=t，
∴OM=2t，
在Rt△MON中，由勾股定理，得
MN=

3

t．
∵S_△MON=

ON•MN

2

，
∴S_△MON=

t• 3 t

2

=

3 t2

2

；
當(dāng)2＜t≤4時(shí)，如圖4，
作AE⊥OC于E，
∴∠AEO=90°，
在Rt△AEO中由勾股定理，得
AE=2

3

．
∴MN=2

3

．
∵S_△MON=

ON•MN

2

，
∴S_△MON=

t•2 3

2

=

3

t；
當(dāng)4＜t＜6時(shí)，如圖5，
∵CD=t-4，
∴DN=（t-4）

3

，
∴MN=6

3

-

3

t，
∴S_△MON=

MN•OD

2

=

t(6 3 - 3 t)

2

=-

3

2

t²+3

3

t；

（3）當(dāng)0＜t≤2時(shí)，如圖6，
當(dāng)PM=PN時(shí)，如圖6，
作PD⊥OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，作PE⊥MN于點(diǎn)E，
∴四邊形ENDP是矩形，
∴EN=PD．
∵ON=t，∠AOC=90°，
∴MN=

3

t．
∵PM=PN，
∴NE=

1

2

MN=

3 t

2

．
∵PB=2t，
∴PC=4-2t，
∴CD=2-t，
∴PD=2

3

-

3

t，
∴

3 t

2

=2

3

-

3

t，
∴t=

4

3

；
當(dāng)NP=MN時(shí)，如圖7，
∴NP²=MN²，．
∵M(jìn)N²=3t²，NP²=（4-t+2-t）²+[（2-t）

3

]²，=7t²-36t+48，
∴3t²=7t²-36t+48，
∴t₁=

9+ 33

2

＞2（舍去），t₂=

9- 33

2

當(dāng)MP=MN時(shí)，如圖8，作PE⊥OA于E，CF⊥OA與F，
∴PE=2

3

，PC=EF=4-2t，OF=2，
∴ME=2t-2-（4-2t）=4t-6，
∴MP²=（4t-6）²+（2

3

）²=16t²-48t+48．
∵M(jìn)N2=3t²．
∴3t²=16t²-48t+48．此時(shí)無(wú)解．
當(dāng)2＜t≤

8

3

時(shí)，如圖9，
MN=NP=2

3

＞2（舍去）
當(dāng)

8

3

＜t≤4時(shí)，如圖12，
MN=NP=2

3

∵CP=2t-4，CN=t-4，
∴PN=3t-8
∴3t-8=2

3

，
∴t=

2 3 +8

3

∴存在l的值，使△PMN為等腰三角形，t₁=

4

3

，t₂=

9- 33

2

，t₃=

2 3 +8

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的四邊形綜合試題，考查了菱形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答第三問(wèn)是難點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)建立方程是解答本題的關(guān)鍵．