Question

（2000•上海）如圖，在半徑為6，圓心角為90°的扇形OAB的弧AB上，有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，PH⊥OA，垂足為H，△OPH的重心為G．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段GO、GP、GH中，有無(wú)長(zhǎng)度保持不變的線(xiàn)段？如果有，請(qǐng)指出這樣的線(xiàn)段，并求出相應(yīng)的長(zhǎng)度；
（2）設(shè)PH=x，GP=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；
（3）如果△PGH是等腰三角形，試求出線(xiàn)段PH的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知：重心是三角形中線(xiàn)交點(diǎn)，它把中線(xiàn)分為1：2的比例，如果中線(xiàn)長(zhǎng)度不變，題中的三線(xiàn)段長(zhǎng)度也不變．在直角三角形OHP中PO是直角三角形OPH的斜邊，也是半徑是保持不變的所以線(xiàn)段GH保持不變；則根據(jù)直角三角形中斜邊的中線(xiàn)是斜邊的一半可以求得OP中線(xiàn)的長(zhǎng)度，進(jìn)而求得GH的長(zhǎng)度；
（2）延長(zhǎng)PG交OA于C，則y=×PC；分別再直角三角形OPh和直角三角形PHC中運(yùn)用兩次勾股定理即可以求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）分別討論GH=PG，GH=PH，PH=PG這三種情況，根據(jù)（2）中的解析式可以分別求得x的值．
解答：解：（1）當(dāng)然是GH不變．
延長(zhǎng)HG交OP于點(diǎn)E，
∵G是△OPH的重心，
∴GH=EH，
∵PO是半徑，它是直角三角形OPH的斜邊，它的中線(xiàn)等于它的一半；
∴EH=OP
∴GH=（OP）=（×6）=2；

（2）延長(zhǎng)PG交OA于C，則y=×PC．
我們令OC=a=CH，
在Rt△PHC中，PC==，
則y=×；
在Rt△PHO中，有OP²=x²+（2a）²=6²=36，
則a²=9-，
將其代入y=×得y=×=（0＜x＜6）；

（3）如果PG=GH，則y=GH=2，
解方程：x=0，
那GP不等于GH，則不合意義；
如果，PH=GH=2則可以解得：x=2；
如果，PH=PG，則x=y代入可以求得：x=，
綜合上述線(xiàn)段PH的長(zhǎng)是或2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了重心的概念以及直角三角形與等腰三角形的性質(zhì)．綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．