Question

在平面直角坐標(biāo)系中，一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)．

（1）寫出這個二次函數(shù)的對稱軸；

（2）設(shè)這個二次函數(shù)的頂點(diǎn)為D，與y軸交于點(diǎn)C，它的對稱軸與x軸交于點(diǎn)E，連接AD、DE和DB，當(dāng)△AOC與△DEB相似時，求這個二次函數(shù)的表達(dá)式。

[提示：如果一個二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為A，那么它的表達(dá)式可表示為：]

 

Answer 1

【答案】

解：（1）對稱軸為直線：x=2。

（2）∵A（1，0）、B（3，0），∴設(shè)這個二次函數(shù)的表達(dá)式。

當(dāng)x=0時，y=3a，當(dāng)x=2時，y=。

∴C（0，3a），D(2,－a)，∴OC=|3a|。

∵A（1，0）、E（2，0），∴OA=1,EB=1,DE=}-a|=|a|。

在△AOC與△DEB中，

∵∠AOC=∠DEB=90°，∴當(dāng)時，△AOC∽△DEB。

∴時，解得或。

當(dāng)時，△AOC∽△BED，

∴時，此方程無解。

綜上所述，所求二次函數(shù)的表達(dá)式為：或，即

或。

【解析】（1）由拋物線的軸對稱性可知，與x軸的兩個交點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，易求出對稱軸。

（2）由提示中可以設(shè)出函數(shù)的解析式，將頂點(diǎn)D與E的坐標(biāo)表示出來，從而將兩個三角形的邊長表示出來，而相似的確定過程中充分考慮到分類即可解決此題。