Question

【題目】已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經過點A（2，0），B（5，0），過點D（0，）作y軸的垂線DP交圖象于E、F．

（1）求b、c的值和拋物線的頂點M的坐標；

（2）求證：四邊形OAFE是平行四邊形；

（3）將拋物線向左平移的過程中，拋物線的頂點記為M′，直線DP與拋物線的左交點為E′，連接OM′，OE′，當OE′+OM′的值最小時求直線OE′的解析式．

Answer 1

【答案】（1）b＝7，c＝﹣10，M的坐標為（，）；（2）見解析；（3）OE′的解析式為y＝﹣x

【解析】

（1）由拋物線的交點式可直接得到拋物線的解析式，從而可求得b、c的值，然后利用配方法可求得頂點M的坐標；

（2）先求得點E和點F的坐標，從而可得到EF＝OA，然后依據(jù)平行四邊形的判定定理進行證明即可；

（3）設拋物線向左平移m個單位時，則M′（﹣m，），E′（﹣m，），作點M′關于x軸的對稱點M″，則點M″（﹣m，﹣），當點E′、O、M″在一條直線上時，OE′+OM′有最小值，然后再依據(jù)E′M″的圖象為正比例函數(shù)圖象列出關于m的比例式，從而可求得m的值，然后可求得OE′的解析式．

解：（1）拋物線解析式為y＝﹣（x﹣2）（x﹣5），即y＝﹣x2+7x﹣10，

∴b＝7，c＝﹣10，

∵y＝﹣x2+7x﹣10＝﹣（x﹣）2+，

∴頂點M的坐標為（，）；

（2）證明：當y＝時，﹣（x﹣）2+＝，

解得x1＝，x2＝，

則E（，），F（，），

∵EF＝﹣＝2，

而OA＝2，

∴EF＝OA，

∵EF∥OA，

∴四邊形OAFE是平行四邊形；

（3）設拋物線向左平移m個單位時，OE′+OM′有最小值，則M′（﹣m，），E′（﹣m，），作點M′關于x軸的對稱點M″，則點M″（﹣m，﹣）．

由軸對稱的性質可知：OM′＝OM″，則OE′+OM′＝OE′+OM″．

∴當點E′、O、M″在一條直線上時，OE′+OM′有最小值．

∴，

解得：m＝．

∴k＝＝﹣．

∴OE′的解析式為y＝﹣x．