Question

如圖1，已知正方形ABCD的邊長為1，點E在邊BC上，若∠AEF=90⁰，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．

（1）圖1中若點E是邊BC的中點，我們可以構(gòu)造兩個三角形全等來證明AE=EF，請敘述你的一個構(gòu)造方案，并指出是哪兩個三角形全等（不要求證明）；

（2）如圖2，若點E在線段BC上滑動（不與點B，C重合）．

①AE=EF是否總成立？請給出證明；

②在如圖2的直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點E滑動到某處時，點F恰好落在拋物線上，求此時點F的坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

（1）△AGE與△ECF（2）①成立②

【解析】解：（1）如圖，取AB的中點G，連接EG，則△AGE與△ECF全等。 

（2）①若點E在線段BC上滑動時AE=EF總成立。證明如下：如圖，

在AB上截取AM=EC，

∵AB=BC，∴BM=BE。

∴△MBE是等腰直角三角形。

∴∠AME=180⁰－45⁰=135⁰。

又∵CF平分正方形的外角，∴∠ECF=135⁰。

∴∠AME=∠ECF。

又∵∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90⁰，∴∠BAE=∠CEF。

∴△AME≌△ECF（ASA）�！郃E=EF。

②過點F作FH⊥x軸于H，

由①知，F(xiàn)H=BE=CH，設(shè)BH=a，則FH=a－1。

∴點F的坐標(biāo)為F（a，a－1）。

∵點F恰好落在拋物線上，∴。

∴a²=2�！�（負(fù)值不合題意，舍去）。

∴�！帱cF的坐標(biāo)為。

（1）取AB的中點G，連接EG，利用SSS能得到△AGE與△ECF全等。

（2）①在AB上截取AM=EC，由ASA證得△AME≌△ECF即可證得AE=EF。

②過點F作FH⊥x軸于H，根據(jù)FH=BE=CH設(shè)BH=a，則FH=a－1，然后表示出點F的坐標(biāo)，根據(jù)點F恰好落在拋物線上得到有關(guān)a的方程求得a值即可求得點F的坐標(biāo)。