Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=9，∠ABC=70°，點E，F(xiàn)分別在線段AD，DC上（點E與點A，D不重合），且∠BEF=110°．
（1）當點E為AD中點時，求DF的長；
（2）在線段AD上是否存在一點E，使得F點為CD的中點？若存在，求出AE的長度；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AD與BC平行得到同旁內(nèi)角互補，又AB=DC，得到同一底上的兩個角相等，從而得到∠A=∠D=110°，在三角形ABE中，利用三角形的內(nèi)角和定理得到其他兩角之和為70°，又∠BEF=110°，根據(jù)平角定義得到剩下的兩個角之和也為70°，等量代換可得∠ABE=∠DEF，根據(jù)兩對對應角相等的兩三角形相似可得三角形ABE與三角形DEF相似，由相似得比例，由E為AD中點，求出AE與ED的長，把各邊的長代入比例式，即可求出DF的長；
（2）假設存在這樣的E使F為CD的中點，則DF等于CD的一半，即為4.5，設AE=x，則DE=9-x，把表示出的各邊的長代入（1）得到的比例式中，得到關于x的一元二次方程，由根的判別式小于0得到此方程無解，故假設錯誤，所以不存在這樣的E使F為DC中點．
解答：解：（1）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠ABC=70°，
∴∠A=∠D=110°，
∴∠AEB+∠ABE=180°-110°=70°．
∵∠BEF=110°，
∴∠AEB+∠DEF=180°-110°=70°，
∴∠ABE=∠DEF．
∴△ABE∽△DEF，
∴，
又∵E為AD中點，AB=DC=AD=9，
∴AE=DE=4.5，AB=9，
∴DF===2.25；

（2）不存在．                                         
假設點E存在，設AE=x，則DE=9-x，
又F為CD中點，得到DF=CD=4.5，
由（1）得，
可得，
整理得x²-9x+40.5=0，
∵△=81-4×40.5=-81＜0，即方程無實數(shù)根，
∴E點不存在．
點評：此題考查了相似三角形的判斷與性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)以及一元二次方程的解法，是一道探究型的題，第一小問注意利用角度之間的轉(zhuǎn)換，證兩三角形相似是解題的關鍵；第二小問，先對結(jié)論作出存在的假設，然后由假設出發(fā)，結(jié)合已知的條件或已挖掘的結(jié)論，結(jié)合圖形，借助數(shù)學思想和方法，進行正確的計算和推理，得出結(jié)果，檢驗其結(jié)果是否與題設、定理及公理相符，若無矛盾，說明假設正確；若矛盾，假設錯誤，故不存在．