Question

如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，點D在邊AB上，DE平分∠CDB交邊BC于E，EM是線段BD的垂直平分線．
（1）求證：；
（2）若AB=10，cosB=，求CD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由EM是線段BD的垂直平分線，可證得∠EDB=∠B，又由DE平分∠CDB，可證得∠CDE=∠B，繼而可證得△CDE∽△CBD，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得結論；
（2）由∠ACB=90°，AB=10，cosB=，可求得AC=6，BC=8，又由，則可求得CD=，繼而求得答案．
解答：（1）證明：∵EM是線段BD的垂直平分線，
∴ED=EB，
∴∠EDB=∠B，
∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE=∠EDB，
∴∠CDE=∠B，
∵∠DCE=∠BCD，
∴△CDE∽△CBD，
∴，
∵ED=EB，
∴；

（2）解：∵∠ACB=90°，AB=10，cosB=，
∴AC=6，BC=8，
∵EM是線段BD的垂直平分線，
∴DM=BM，
∴，
∴，
即CD=，
∵cosB==，
∴CD=4×=5．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、線段垂直平分線的性質、角平分線的定義以及三角函數等知識．此題難度適中，注意掌握數形結合思想與轉化思想的應用．